作者GSXSP (Gloria)
看板Math
標題Re: [分析] 級數和問題
時間Mon Feb 28 13:35:05 2011
如果只sum到N的話是可以
不過現在
N N
lim Σ Σ a_i b_j
N→∞ i=1 j=1
N N
= lim Σ a_i Σ b_j
N→∞ i=1 j=1
N K
?=? lim Σ a_i lim Σ b_j
N→∞ i=1 K→∞ j=1
要怎麼做呢?
對應Fubini Theorem的話條件是要
a_i b_j ≧ 0 or ΣΣ |a_i b_j| < ∞
不過我是想summation說不定不用什麼條件
可是我也不知道Fubini怎麼證的
summation的我也不知道怎麼做@@
還是說上面那個極限要怎麼處理呢?
※ 引述《jameschou (DOG)》之銘言：
: ※ 引述《GSXSP (Gloria)》之銘言：
: : ∞ ∞ ∞ ∞
: : Σ Σ a_i b_j ?=? ( Σ a_i ) ( Σ b_j )
: : i=1 j=1 i=1 j=1
: : 有要什麼條件或要怎麼證明呢@@?
: ∞ ∞
: Σ Σ a_i b_j
: i=1 j=1
: 中的a_i跟j這個變數無關
: 也就是說對於後面這段
: ∞
: Σ a_i b_j
: j=1
: 來說 a_i可以看成是常數(也就是每個b_j都乘以a_i倍)
: 因此可以把a_i提出 變成
: ∞ ∞
: Σ a_i *(Σ b_j)
: i=1 j=1
: 同理
: ∞
: Σ b_j 這整坨都跟i這個變數無關 所以可以把這整坨當常數
: j=1
: 也就是說每個a_i都要乘以這個常數倍 因此再把他往前提出
: 就會變成
: ∞ ∞
: ( Σ b_j ) ( Σ a_i )
: j=1 i=1
: 再交換一下順序就可以得到你要的答案了!
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◆ From: 218.168.28.250
※ 編輯: GSXSP 來自: 218.168.28.250 (02/28 13:40)
1F：→ doom8199 :原po應該要考慮 ΣΣa(i,j) 吧,單討論ai*bj有點狹隘 02/28 14:00
2F：→ doom8199 :而且第一個式子要列成 limΣ{ limΣ(a_i*b_j) } 02/28 14:01
3F：→ GSXSP :喔 對耶 我列錯了 這樣好像ai*bj就沒問題了 02/28 14:10
※ 編輯: GSXSP 來自: 218.168.28.250 (02/28 14:19)
4F：→ GSXSP :呃 不對 在我遇到的問題裡的確就是我列的式子 02/28 15:13
5F：→ GSXSP :我這樣列等號不會對嗎? 02/28 15:14
6F：推 doom8199 :考慮兩sequence{f_N}、{g_N}, (f_N,g_N)=(Σai,Σbj) 02/28 15:29
7F：→ doom8199 :等於是要證明 lim{f_N*g_N} = lim{f_N} * lim{g_N} 02/28 15:30
8F：→ doom8199 :if lim{f_N} and lim{g_N} converge 02/28 15:31
9F：→ doom8199 :微積分課本有給證明 02/28 15:32
10F：→ GSXSP :喔! 對 謝謝! 02/28 15:33
11F：→ doom8199 :我用詞不當QQ, "converge" 改成 exist , 抱歉 02/28 15:38
12F：→ GSXSP :OK 我知道 02/28 15:44