作者yhliu (老怪物)
看板Math
標題Re: [中學] 關於期望值和變異數的證明
時間Sun Feb 27 21:36:22 2011
※ 引述《imokman (胡)》之銘言：
: 數甲I的範圍，自修裡面提到的
: E(X)是隨機變數x的期望值，Var(X)是隨機變數Y的變異數，其餘以此類推
: 問題如下
: "若X,Y是樣本空間中獨立的兩個隨機變數
: 則 E(XY)=E(X)E(Y)且Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)"
: 課本裡面好像沒有提到證明，參考書也沒有
: 例題也是直接套公式就算出來
: 能請問這個性質是怎麼來的嗎？
: 還是說要用大學的基統才能解釋？
: 感謝
因 X 與 Y 獨立, 故
P[X=x,Y=y] = P[X=x]P[Y=y], 對所有 x,y
依期望值定義:
E[XY] = Σ xyP[X=x,Y=y]
x,y
= Σ xy P[X=x]P[Y=y]
x,y
= Σ x P[X=x] Σ y P[Y=y]
x y
= E[X]E[Y]
又,
Var[X+Y] = E[(X+Y-E[X+Y])^2]
= E[{(X-E[X])+(Y-E[Y])}^2]
= E[(X-E[X])^2]+E[(Y-E[Y])^2]+2E[(X-E[X])(Y-E[Y])]
= Var[X] + Var[Y] + 2E[X-E[X]]E[Y-E[Y]]
= Var[X] + Var[Y]
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