※ 引述《pop10353 (卡卡:目)》之銘言： : EX. : 題目為 : 兩變動三角形的面積和之最小值 : 5*(20-X)*(1/2)+X*[5X/(20-X)]*(1/2) : 其中20>X>0 : 整理後 X^2 : (5/2) *[ _____ + (20-X) ] : 20-X : >= (5/2) * 2X : 因為"=" 成立時 元素須均等 limit存在 : X^2 : _____ = (20-X) => 算出 X=10 帶回原式 : 20-X : MIN = 50 : 請問....矛盾點在?? : 我想了很久.... 老師說我固執... 唉 我也不想--- --- 第一篇回文的大大已經有說到重點了 除了手癢想畫一下圖外 XD 還有針對標題提出自己的看法 假設欲求 y = f(x) 在 region D 上的最大(小)值 若用一些常用的不等式推論出 f(x) ≧ m for all xεD "假如" 等號成立的時候可以找到一(些) x ( 或是證明存在一數 kεD, 使得 f(k)=m , 但表示不出 k 的 form ) 根據 minimum 的定義， f(k) 即為 f(x) 在 D 下的最小值 但若你得到的 form 是: f(x) ≧ g(x) , g(x) is a function of x 如下圖所示: y ∕ y = f(x) ↑ ∕ │ ∕ 　　　　　　　│ ／＿＿ y = g(x) 　　　 ＼│　 ╭╮　　 ／∕ 　　　　　　 ＼ ／ ＼ ／ ∕ 　　　　　　　│╳ ╭╮ ＼／ ／ 　　　　　　 ／ ╰╯ ＼ ／ 　　 　　 　／│　 　　 ＼／ 　　　 │ 　　─────┼────────┼──────→ x k p ←────────→ region D 若求解 f(x)=g(x) in D 會得到 x = p 這個值 ( 圖畫有點爛＝＝a ) 但這個動作並不保證 f(x) ≧ f(p) for all xεD 因為由圖中易知 f(p)≧f(x) for all xε[k,p] ( 以此例子而言， f(x) 的 min = f(k) ) ------------------------------------------------------------------------------- 　　所以是否以後求極值問題 　　不等式盡量不要雙邊出現都未知變數 ? 　　我覺得要看你用的如何、以及你所想解決的問題適不適用 　　假設隨便舉一個問題: find the maximum value of f(x) = 2√(2x-1) + (1/x) - x for x≧(1/2) 像這種單變數函數，找的到不等式就下去湊 　　找不到就用微分硬幹求解 　　但也可以利用算幾不等式下去求: x + [2 - (1/x)] ≧ 2√(2x-1) → 2 ≧ 2√(2x-1) + (1/x) - x = f(x) 所以 max{f(x)} = 2 , 等號成立於 x = 2-(1/x) (or x=1) 會發現上面的例子所使用的算幾不等式 　　其不等式左右兩邊都為 x的函數 但是可以很漂亮的解決該問題 ! 這類技巧在很多學科競賽的題目中，有時候都可以用的上 　　只要你腦筋動得夠快，或是你本身就是出題老師 XD 除了解這類問題 　　有時候得到如 f(x) ≧ g(x) 這種式子 　　可以拿來分析問題 ( 例如 Asymptotic Notation ) f(x) 或許在分析上非常的複雜 　　但若找到一個函數 g(x) 可以 bound 住 f(x) 但 g(x) 相對上容易分析 　　或許可以由 f(x) ≧ g(x) 這個不等式，藉由分析 g(x) 來抽出 f(x) 可能也具備何種特性 所以也不要有先入為主的觀念 　　認為得到 "f(x) ≧ g(x)" 就一定沒任何用處 　　得端看你在處理何種問題 --

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