作者GaussQQ (亮)
看板Math
標題Re: [中學] 數論題
時間Fri Feb 25 23:19:00 2011
※ 引述《j19951102 (j19951102)》之銘言：
: 設整數m、n滿足m≧n且m^3+n^3+1=4mn，求m-n的最大值
: 急需，拜託高手幫忙
基本上我是把它看成不等式問題
比如說 當在m≧n≧0的時候:
狀況一: m>n:
可以容易得到 m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)>(m+n)4n 後面不等式 是n>4成立
所以可知 m^3+n^3+1>4mn 當n>4
因此 你只要帶n=1,2,3去解m
狀況二: m=n:
簡單的習題
當在 m≧0≧n的時候:
Let -n=s
考慮題目條件變成: 1.s≧m≧0 or 2. m≧s≧0
則對應題目就會轉變成 m^3-s^3+1=-4ms 又等價於 s^3-m^3-1=4ms
1.s≧m≧0:
考慮狀況一 :s>m+1
s^3-m^3-1=(s-m)(s^2+sm+m^2)-1≧2(s^2+ms+m^2)-1≧4ms
狀況二: s=m+1:
簡單的習題
狀況三: s<m+1
但是我們由條件知道 s≧m 所以 m+1>s≧m => s=m
代入等式解
2.m≧s≧0:
s^3-m^3-1<0 但是4ms≧0 無解
最後一種case: 0≧m≧n:
另-m=t, -n=s 則條件變成 s≧t≧0.
題目變成: s^3+t^3-1=-4st
因為s,t都是≧0 因此 這個等式左邊 最小只可能是負數的可能只有s=t=0
但是右邊卻是0。 因此這個狀況沒有解
然後你算一算就可以了
也許有更加便捷的方法 這個方法就只是看準了三次方 跑得一定比mn這樣的東西快
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◆ From: 140.114.230.75
1F：推 j19951102 :謝謝你，其實我的方法跟你一樣，只是我討論到m≧0≧n 02/25 23:34
2F：→ j19951102 :時不知怎麼證明m小於n的絕對值，題目不成立，也就是 02/25 23:36
3F：→ j19951102 :你用的-n=s這個方法來證明我想不到,又學了一種新方法 02/25 23:37
※ 編輯: GaussQQ 來自: 140.114.230.75 (02/25 23:46)