作者ranger25 (ranger25)
看板Math
標題Re: [微積] f(x+y) = f(x)f(y) implies f(x) = a^x
時間Sun Feb 13 10:31:08 2011
※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: ※ 引述《GSXSP (Gloria)》之銘言：
: : f(x) differentiable on (-∞,∞)
: : with f(x+y) = f(x)f(y)
: : prove that f(x) = a^x for some a
: : (Hint: ln f(x) must have constant derivitive)
: : 我做 f'(x) f'(y)
: : grad ln f(x+y) = (------ , ------ )
: : f(x) f(y)
: : f'(x)
: : 但是還是看不出來 ----- 是constant
: : f(x)
: : 請問這題要怎麼做呢?
: 提供另外一個方法試試看好了
: 2
: f(0)=f(0+0)=f(0)
: =>f(0)=0 or 1
: Case 1:
: If f(0)=0 them f(x)≡0 for all x in R.....done
: Case 2:
: if f(0)=1
: for n \in N n
: f(n)=f(1+1+...+1)=f(1)
: ￣￣￣￣n times
: 1=f(0)=f(1+(-1))=f(1)*f(-1)
: -1
: => f(-1)=f(1)
: Hence for n be negtive integer
: -n -1 -n n
: f(n)=f((-1)*(-n))=f(-1)*f(-n)=f(-1)*f(1) =f(1) * f(1) =f(1)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
應該改成f(-1)^-n=(f(1)^-1)^-n=f(1)^n
: 1 1 1 1 m
: Moreover, f(1)=f(--- + --- + ...+---) = f(---)
: m m m m
: ￣￣￣￣￣￣￣￣m times
: 1
: (---)
: 1 m
: hence f(---)=f(1)
: m
: n
訂正 ---
n 1 n m
finally, f(---)=f(---) =f(1)
m m
: 到此我們做完全部的有裡數的部份
: therefore, for r be a irrational number there exists a seq {x_n} ,where x_n
: are all rational number such that x_n->r
: and f is diff => f is conti
: Hence
: x_n r
: f(r)=lim f(x)= lim f(x_n)= lim f(1) =f(1)
: x->r n->inf n->inf
: let f(1)=a, we are done
: ＝＝＝
: 這作法是模仿線性的XDD
: f(x+y)=f(x)+f(y)
很厲害^^b
請問就CASE1而言，f(x)≡0怎麼說明f(x)=a^x？
a=0？可是0^0不存在啊
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.134.181.173
※ 編輯: ranger25 來自: 220.134.181.173 (02/13 10:49)
1F：推 jacky7987 :可能得說廣義的對吧，分段定義在0的時候是0 02/13 11:04
2F：→ jacky7987 :其他地方則是0^x次方 02/13 11:04
3F：→ jacky7987 :然後我寫的的-n已經變成正整數了，可以直接用前面證 02/13 11:05
4F：→ jacky7987 :的去寫 02/13 11:05
5F：→ jacky7987 :所以我才那樣寫XDD 02/13 11:05
6F：→ jacky7987 :別理我我那邊寫錯XD 02/13 11:06
7F：→ jacky7987 :你寫的是對的 02/13 11:07
8F：→ ranger25 :是題目的問題啦 02/13 11:16
9F：→ ranger25 :f(x)≡0並無違反題意，但結果很明顯是錯的 02/13 11:20