作者yhliu (老怪物)
看板Math
標題Re: [機率] 關於箱子中未知球數的機率問題
時間Fri Feb 11 23:20:35 2011
※ 引述《whcat ()》之銘言：
: 小的 有個數學的問題 但不知如何區分
: 因為最近和朋友聊天的時候
: 正好天方夜譚的憑空冒出一個問題
: 就是一個箱子裡面 有著未知顆數的球
: 每顆球都有自己專屬的編號
: 用一隻手從箱子裡面 一次拿四顆球(假設箱子內球數比手拿取的顆數來的高)
: 拿完以後 再放回去 然後一直重複拿取球並記錄的工作
: 這樣子有可能得知箱子裡面總共有幾顆球!?
: 或是至少要做幾次拿取並記錄的工作才可以知道有幾顆球?
: 也不用清楚的知道 可能可以用有很高的機率是幾顆球!?
: 因為小的並非數學系畢業 XD
: 但是我覺得辦得到!!!
: 卻不知道怎麼計算?!
: 這問題是不是有點奇怪 XDDDD
: 但是卻不知道該如何做到!?
設球數為 N, 未知.
設編號為 1,2,...,N.
若編號不是 1,2,...,N 連續號,
把實際號碼與 1,...,N 做個對應.
設一次取 k 個球, 取 n 次.
只取一次(n=1), 因一次取出, 只能依大小順序.
設取出之編號為 X_1< ．．．<X_k. 則其聯合 p.m.f. 是
f(x_1,...,x_k) = 1/C(N,k), 1≦x_1<…<x_k≦N.
取 n 次, 設第 i 次取出之編號為
X(i,1)< ···<X(i,k), i=1,...,n.
則 {X(i,j), i=1,...,n, j=1,...,k} 之聯合 p.m.f. 為
f({x(i,j): i=1,...,n, j=1,...,k}) = 1/[C(N,k)]^n,
1≦x(i,1)< ···<x(i,k)≦N, i=1,...,n.
則 N 之 M.L.E. (maximum likelihood estimate) 為
N^ = max{x(i,j): i=1,...,n, j=1,...,k}
此 M.L.E. 顯然是永遠低估的.
但 N^ 本身又是 N 的 complete sufficient statistic,
因此, 可藉由計算 E[N^] 而找出 N^ 的函數, δ(N^),
為 N 之不偏估計, 並且此不偏估計δ(N^)在所有 N 之不
偏估計中具有最小的均方誤差, 稱之為 UMVUE.
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◆ From: 125.233.153.120
※ 編輯: yhliu 來自: 125.233.153.120 (02/11 23:24)
※ 編輯: yhliu 來自: 125.233.153.120 (02/11 23:26)
1F：推 whcat :恩~ 我想先謝謝你 但是我還要在搞清楚你寫的東西 XD 02/12 00:43
2F：推 MOONY135 :好久沒有看到UMVUE了... 02/12 08:31
3F：→ yhliu :給1F: 簡單地說, 這是屬於統計上如何估計 N 的問題. 02/12 09:14
4F：→ yhliu :至於本文內容, 沒學過數理統計大概不能完全弄清楚, 02/12 09:16
5F：→ yhliu :完全沒接觸統計更可能完全不懂在寫甚麼. 02/12 09:16
6F：→ yhliu :至於你原來問的: 要抽幾次(n要多大)可以完全知道 N? 02/12 09:17
7F：→ yhliu :在 N>k (你原問中 k=4) 之假設下是: 不論 n 多少都不 02/12 09:18
8F：→ yhliu :可能完全確定 N. 02/12 09:19
9F：推 whcat :那其實也不用需要完全確定n值 N是多少的機率最大為何 02/12 09:55
10F：→ whcat :將也不行嗎? 02/12 09:55
11F：→ yhliu :找出 N 的估計量 T, 可以求出 T 的分布. 02/12 10:59
12F：→ yhliu :本文談的就是 T 的兩種, 一是 MLE N^, 另一是 UMVUE. 02/12 11:00