※ 引述《jimmy780331 (lucky曉筑)》之銘言： : 不好意思 想請問一下一些集合的結構 : 1. Z_9 x Z_6 : 2. Z_9 x Z_6 / <(3,3)> : ( <(3,3)> be the cyclic subgroup of Z_9 x Z_6 generated by (3,3) ) <(3,3)>={(3,3) (6,0) (0,3) (3,0) (6,3) (0,0)} Z_9 x Z_6 有54個元素 => Z_9 x Z_6 / <(3,3)> 有 54/6 = 9 個元素 又 Z_9 x Z_6 任何元素加3次 都落入 <(3,3)> 內 因此 Z_9 x Z_6 / <(3,3)> 中 元素的order 不是3就是1 => Z_9 x Z_6 / <(3,3)> isomorphic to Z_3 x Z_3 : 以及下面這題 : Consider the ringof Gassian integers Z[i] : (a) For a non-zero principal ideal J=<a+bi> in Z[i] : prove that Z[i]/J is a finite ring : (Hint: Z[i] is a Euclidean domain with norm v(x+yi)=x^2+y^2) let S={ x+yi | x,y in Z and x^2+y^2 < a^2 + b^2 } 明顯的 S是個有限集合 用Euclidean domain 的性質 for every c+di in Z[i] there exist m+ni and e+fi such that c+di= (a+bi)(m+ni) + e+fi v(e+fi) < v(a+bi) = a^2+b^2 or e+fi=0 因此 in the ring Z[i]/J ____ ____ c+di = e+fi 所以 任意一個Z[i] 中的元素 ____ ____ 都可以在 S 中找到一個數e+fi 使得 c+di=e+fi 所以 Z[i]/J 只有有限個元素 : (b) What's the number of elements in Z[i]/J for J=<1+i>？ : 這題是97年台聯大考題 對於這方面的結構都不是挺了解 : 請多指點 感恩謝謝 S={x+yi |x,y in Z and x^2+y^2 < 2} ={0 , 1 ,-1,i,-i} _ _ __ _ __ 所以 Z[i]/J ={ 0 ,1 ,-1,i,-i} _ _ ___ __ 但其中 1 = 1 - (1+i) = -i __ ___ _ 且 -1 = -1 + (1+i) = i _ _ ____ ____ _ _ __ 且 1 = 1 - (1+i)(1-i) = 1 - 2 = -1 _ _ 所以 Z[i]/J ={ 0 ,1 } 只有兩個元素 _ _ PS: 因為 1+i 不是unit in Z[i] 所以 1不在 <1+i> 內 所以 1 不等於 0 -- 雜魚:哈哈哈~~我ㄧ直在觀察 你才剛進來遊戲~~真實之劍我要定了 使用"扒手"攻擊ntnusliver! .......好人卡ㄧ張獲得...... --

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