作者wyob (Go Dolphins)
看板Math
標題[代數] eigenvector
時間Wed Feb 9 22:01:37 2011
做考古題做到的ㄧ題，做幾行就寫完了感覺不太符合配分
所以想上來請教一下
1.Let S and T be linear transformations on a finit-dimensional vector
space over C.Suppose ST=TS.Show that they have a common eigenvector.
2.(p-1)!≡p-1 mod(1+2+...+p-1) if p is a prime number.
第一題我的解法是:假設x=\=0 是S的ㄧ個eigenvector，而λ是相對應
的eigenvalue
所以ST(x)=TS(x)=T(λx)=λT(x)
＝〉T(x)也是一個相對應λ的eigenvector,所以T(x)=ax,where x屬於R
所以x就是S,T共同的eigenvector.
不知道是不是哪裡有盲點，這樣解的話，對所有的eigenvector都對吧
所以想請幫忙看一下是不是哪裡解錯了
而第二題不知道怎麼解，所以想請教一下
感謝
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◆ From: 118.166.226.69
1F：→ Vulpix :λ的eigenspace不見得只有一維... 02/09 22:23
2F：→ wyob :喔我沒打清楚，我假設這裡的x=[x1,x2,...,xn]^t 02/09 22:28
3F：→ wyob :然後題目裡的S和T都是有限維度的 02/09 22:28
4F：→ Vulpix :我已經把這些假設腦補了 但不是這個問題啊 02/09 22:30
5F：→ Vulpix :你試試看 S=I,T隨便 然後跑一遍你的證明 02/09 22:31
6F：→ Vulpix :問題是出在你選的x不一定剛剛好是λ的eigenspace中 02/09 22:32
7F：→ Vulpix :也是T的eigenvector的那一個 02/09 22:32
8F：→ wyob :喔喔，可是等式的最後不是就代表T(x)也在λ的 02/09 22:37
9F：→ wyob :eigenspace裡嗎?這樣Tx和x應該就只差某各常數a倍 02/09 22:38
10F：→ wyob :所以Tx=ax,雖然x不再λ的eigenspace裡，可是x會在a的 02/09 22:39
11F：→ wyob :eigenspace哩，這樣想對嗎 02/09 22:39
12F：→ ilovecs34 :你可以想成其實S找的eingenspace 就是T不變子空間 02/09 22:49
13F：→ Vulpix :等等，"T(x)也在λ的eigenspace裡"真的代表Tx和x只差 02/09 22:50
14F：→ ilovecs34 :所以會存在eingenvector符合 並不是對所有 02/09 22:50
15F：→ Vulpix :某個常數a倍嗎？一樣用S=I的例子來檢視看看： 02/09 22:51
16F：→ Vulpix :T隨便選，x只要不是0都在S關於λ=1的eigenspace裡 02/09 22:52
17F：→ Vulpix :那還能保證Tx一定跟x同方向嗎？ 02/09 22:53
18F：→ wyob :喔喔了解了，感謝你，那我試試看i大的方法好了 02/09 22:55
19F：→ wyob :那第二題該從哪裡下手比較好 02/09 22:56
20F：→ Vulpix :p=2很簡單，p不是2的話可以用Wilson定理 02/09 23:03
21F：→ wyob :我有想過wilson定哩，可是mod後面要怎麼拆開來用呢 02/09 23:13
22F：→ Vulpix :hint:(p-1)!-(p-1)是p的倍數也是(p-1)/2的倍數 02/10 02:19