作者moon2519 (~X~X~)
看板Math
標題Re: [線代] 一題關於對稱矩陣證明
時間Fri Feb 4 20:26:13 2011
※ 引述《hcl012 (怪龍-卡西歐魯)》之銘言：
: 一個對稱矩陣Ｍ有eigenvector u_i 和 eigenvalue λ_i
: 也就是說 Ｍ * u_i = λ_i * u_i
: Ｄ T
: 題目是證明 Ｍ = Σ λ_i * u_i * u_i
: i=1
: D是矩陣Ｍ內的行數
: T
: 因為Ｍ是對稱矩陣的關係，所以u_i * u_i是單位矩陣
: 所以我們可以得到
: T
: Ｍ * u_i = λ_i * u_i = λ_i * u_i * u_i * u_i
: 然後把兩邊的u_i去掉
: T
: Ｍ = λ_i * u_i * u_i
: 問題主要是在於右邊的Σ是怎麼出現的呢?
: Ｄ t
: 照這樣推導的話Σ λ_i * u_i * u_i應該是等於D*Ｍ才對
: i=1
: 是我的推導哪裡出了問題了嗎?
: 如果我的證法有誤的話，正確的證法是如何呢?
因為M為一個對稱矩陣(且內部元素均為實數)
By Schur定理 可以找到一個 正交矩陣(orthogonal matrix)
P = [u1*,u2*,...,uD*] 為一行向量 單範正交(orthonormal) 之矩陣
{ 其中 ui* 為調整過後的u_i ,目的為滿足單範正交! }
使得 M = P D P' ( P':= P 的轉置矩陣 )
( D := 對角矩陣(diagonal matrix) 且d_ii依u_i而定 )
所以 M = [u1*,...,uD*] D [u1*,...,uD*]'
= [P][λ_1u1*,...,λ_DuD*]'
(考慮各別元素 [M]ij := M 的 第 i 列 j 行之元素)
Ｄ
[M]ij = Σ [P]ik([λ_1u1*,...,λ_DuD*]')kj
k=1
Ｄ
= Σ [P]ik [λ_1u1*,...,λ_DuD*]jk
k=1
Ｄ
= Σ [λ_1u1*,...,λ_DuD*]jk [P']ki
k=1
Ｄ
= Σ [λ_1u1*,...,λ_DuD*]jk ([u1*,...,uD*]')ki
k=1
(note: M is symmetric => [M]ij=[M]ji )
Ｄ
M = [λ_1u1*,...,λ_DuD*] [u1*,...,uD*]' = Σλ_i u_i* (u_i*)'
i=1
Remark
我不太會打數學符號= =所以有錯請見諒...
第一次在這PO文有錯請鞭小力點...
※ 編輯: moon2519 來自: 203.222.21.28 (02/04 20:31)