作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [中學] 請教一題競賽題(數論)
時間Fri Feb 4 00:41:42 2011
※ 引述《j19951102 (j19951102)》之銘言：
: 已知n為正整數，p為質數，且滿足條件n|(p-1)與p|(n^3-1)，
: 試證:4p-3必為某整數的完全平方。
: 謝謝!
要謝謝幾個大大的推文
另外，應該要排除「n=1」
首先，p|(n^3-1)=(n-1)*(n^2+n+1)
但是，如果 p|(n-1) 會有 p≦n-1 但是已知 n≦p-1，所以矛盾
故 p|(n^2+n+1)
又 n|(p-1)，得 p=1+kn
其中 k 是自然數（不可能是 0，因為 p 是質數）
由 1+kn | (n^2+n+1)
1+kn | 1+kn
得到 1+kn | k*(n^2+n+1) - (n+1)*(1+kn) = k-n-1
分成幾個情形討論：
i) k-n-1 > 0
此時 1+kn≦k-n-1
得 n≦(k-2)/(k+1) < 1 矛盾
ii) k-n-1 < 0
此時 1+kn≦1+n-k
得 k≦n/(n+1) < 1 矛盾
所以 k = n+1
得 p = n^2+n+1
所以 4p-3 = 4n^2+4n+1 = (2n+1)^2
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