作者yusd24 (阿鄉)
看板Math
標題Re: [代數] 一個artin書上的題目
時間Fri Feb 4 00:34:01 2011
我是說 例如一般R[x]/<x^4 + x^2 + 3>
如果a=x+<x^4 + x^2 + 3>
則R[x]/<x^4 + x^2 + 3>={p+qa+ra^2+sa^3|p,q,r,s屬於R} (*)
所以這題的(Z/12Z)[x]/<2x-1>={p|p屬於Z/12Z}
同時這個環又包含Z/12Z 所以不是就是Z/12Z本身嗎
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當然不是，可以回去思考一下(*)怎麼來的
一般遇到的時候是一個 polynomial ring over a field,
所以你可以用長除法，把每個東西都除到次數夠低。
但是你現在遇到的是 polynomial ring over a general ring,
那當然不會有長除法，例子就舉 R = Z 整數環
在 Z[x]/(2x-1) 裡面，當然不是每個元素都可以變成 0 次式
比方說: x 這個多項式就不行...理由就是 2 沒有反元素，所以你不能除。
換一個角度思考 (Z/12Z)[x]/(2x-1) 裡面，y=x+(2x-1) 這個元素的 order 是 24,
(此因 2y=1+(2x-1), 所以 24y = 12+(2x-1)=0 )
你有一個 order 是 24 的元素，當然不只有 12 個啦！
更直觀一點，其實你要求的 ring 就是
S = {a/2, a=0,1,....,24} (character 12)
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1F：→ yusd24 :S as a subring of the rational number field 02/04 00:37