作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [微積] 極限計算
時間Thu Feb 3 21:57:19 2011
※ 引述《raymond168 (raymond168)》之銘言：
: 標題: [微積] 極限計算
: 時間: Thu Feb 3 15:23:28 2011
:
: 題目如下:
:
: Show that (1+x)^(1/x)=e．(1-x/2+(11x^2)/24+o(x^2)) as x→0.
:
:
: 請教板上各位高手
:
: 這題該如何解?
:
: 謝謝!
:
: --
:
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: ◆ From: 59.104.109.45
: → a88241050 :o(x^2)是啥 02/03 15:26
: 推 xxyyzzz :剩餘的平方項函數吧 02/03 15:33
: → a88241050 :e=e 02/03 15:35
: 我把原本的題目PO上來，網址如下:
: http://ppt.cc/nmzt
: ※ 編輯: raymond168 來自: 59.104.109.45 (02/03 15:41)
: → Vulpix :就只是要做(1+x)^(1/x)在x=0的泰勒展開 02/03 15:55
: 所以，意思是說
:
: f(x)=(1+x)^(1/x)在x=a的泰勒展開為
:
: f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)^2/2!+...
:
: a→0 as x→0
:
: f(x)=lim {f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)^2/2!+...}
: a→0
:
: 這個意思嗎?
應該說
f(x) = (1+x)^(1/x) , x>-1 但不是 0
e , x=0
然後把這個函數在 x=0 泰勒展開至二階，得到一個二次多項式 P(x)
最後還要確認 (f(x) - P(x))/x^2 →0 當 x→0 （這就是那個 o(x^2) 的意思）
至於計算泰勒展開的方法還是得照定義來的
f'(0) = lim (f(x)-f(0))/x = lim ( (1+x)^(1/x) -e )/x = ...
x→0 x→0
f"(0) = lim (f'(x)-f'(0))/x = ...
x→0
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