作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Math
標題Re: [分析] 複變的實數定積分
時間Wed Feb 2 00:07:04 2011
※ 引述《JASONVI (大目)》之銘言：
: doom8199大您好
: 您說要看被積函數是啥
: 那以此題為例
: ∞ sinx dx
: ∫ ----------
: -∞ x(1+x^2)
: sinz
: 以f(z) = ---------- 來說 z = 0為可去奇點，極點:z = +i,-i
: z(1+z^2)
: 那如果化成
: exp(iz)
: f(z) = Im{-----------} 那z = 0是屬於極點，就不是可去奇點了嗎?
: z(1+z^2)
: 那這樣對他積分上半圓 實數軸上的0就要對他做避點積分嗎?
<1>
sin(z)
不能直接考慮 f(z) = ──── 阿 XD
z(1+z^2)
因為當你使用半圓 contour 來算積分
其外圍積分的絕對值不會收斂至 0 if 半徑R→∞
也就是
∞ sin(x) sin(z)
∫ ──── dx ≠ 2πi* Res{ ────, i }
-∞ x(1+x^2) z(1+z^2)
= π*sinh(1)
除非你有辦法自己設計出很奇怪的 contour
最後可以推得原始瑕積分
<2>
考慮以下積分
exp(iz)
∮ g(z) dz for g(z) = ────
c z(1+z^2)
g(z) 具有 一階 pole z=0 , z=i、 z=-i
所以一般書上會用大小半圓來定義 c
並且外圍積分會收斂至 0
所以最後可以得到:
∞ sin(x)
∫ ──── dx = Im{ πi* Res{ g(z), 0 } + 2πi*Res{ g(z), i} }
-∞ x(1+x^2)
= Im{ πi*1 - πi*exp(-1) }
= π*[1-exp(-1)]
但若考慮的積分為如下：
exp(iz) - 1
∮ h(z) dz for h(z) = ──────
c z(1+z^2)
h(z) 在 z=0 雖沒有定義
但重點在於其鄰域具有很好的性質
所以在算 contour 積分的時候
c 有沒有繞過 z=0 附近都沒差
因此:
∞ sin(x)
∫ ──── dx = Im{ 2πi*Res{ h(z), i} }
-∞ x(1+x^2)
exp(-1) - 1
= Im{ 2πi*────── }
-2
= π*[1 - exp(-1)]
若你考慮的被積函數是 h(z)
並且 contour 的設計也有繞過 z=0 該點
那結果會變成：
∞ sin(x)
∫ ──── dx = Im{ πi*Res{ h(z), 0} + 2πi*Res{ h(z), i} }
-∞ x(1+x^2)
= Im{ πi*0 + 2πi*Res{ h(z), i} }
= ...
答案不變
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.64.93.41
1F：→ JASONVI :doom8199大您好 這樣寫我已經大致可以了解 02/02 01:47
2F：→ JASONVI :解答也是用g(z)的方法算，不過您的h(z) 為什麼可以令 02/02 01:49
3F：→ JASONVI :成[exp(iz)-1]/z(1+z^2)阿?? 02/02 01:50
4F：推 JASONVI :這邊我就不懂了 02/02 01:54
因為你是要利用自己假設的 model 來 "湊答案"
考慮一 closed contour 積分:
∮ h(z) dz = 2πi*Σ_k Res{ h(z), p_k} for finite poles
c
R π iθ iθ
→ ∫ h(x) dx + ∫ h(Re )*iRe dθ = 2πi*Σ_k Res{ h(z), p_k}
-R 0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
箭頭標示的積分在半徑 R 大到一定程度的時候
其積分值會開始有往 z=0 逼近的趨勢 (可以自己證明看看)
所以最後當 R→∞
∞
即可知道 ∫ h(x) dx = ?
-∞
∞ cos(x) - 1 ∞ sin(x)
也就是同時知道 ∫ ───── dx 和 ∫ ──── dx
-∞ x(1+x^2) -∞ x(1+x^2)
而後者正是我們想要求得的結果，那假設的 model 就是有意義的
再來假設 h(z) 還有一個目的
就是故意讓 h(z) 在 z=0 點變成是 removable singular point
iz 1 2
簡單的 idea 可以考慮 e = 1 + (iz) + ─*(iz) + ...
2
這樣你應該就可以看出我為何要假設 h(z)
這樣子假設優點在於可以少算很多留數值
尤其是遇到 higher order pole，計算量會減低的很明顯 (因為省去微分動作)
但還是會付出 penalty
那就是證明其它路徑的積分是否會收斂於 0、
或是作一些變數變換 相對上會變困難
※ 編輯: doom8199 來自: 61.64.93.41 (02/03 00:00)
5F：推 JASONVI :大年初一在這先跟您拜個年 感謝您大年初一還上來解惑 02/03 12:29
happy new year of Rabbit !!
6F：→ JASONVI :那cosx-1 這三角函數是怎麼變出來的?? 02/03 12:30
7F：→ JASONVI :是exp(iz)-1 = cosz + sinz -1 嗎?? 02/03 12:31
對，不過 sin(z) 要乘上 i，應該是原po筆誤
8F：→ JASONVI :所以變成Re{cosx-1)+Im{sinx} ?? 02/03 12:32
9F：推 JASONVI :所以令exp(iz)-1的用意 其實跟exp(iz)意思一樣 都是 02/03 12:35
10F：→ JASONVI :可以取Im{sinx} 但是設成exp(iz)-1 可以讓z=0 變成 02/03 12:36
11F：→ JASONVI :removealbe singular point 02/03 12:37
12F：→ JASONVI :我這樣解釋有錯嗎?? 02/03 12:37
解釋是對的
13F：推 JASONVI :所以前面的推文說 避點跟不避點意思ㄧ樣 但是函數要 02/03 12:40
14F：→ JASONVI :令成h(z)才可以 如果令成g(z)就需要避點了 02/03 12:40
這個可能要問版上推文的先進 ><
或許有其它的用意
但我的話會解讀成 被積函數不適用此提
我猜推文者是考慮以下 closed contour int. :
sin(z)
∮ f(z) dz for f(z) = ────
c z(1+z^2)
對此積分來說， c 有沒有繞過 z=0 該點都沒差
∞ sin(x)
但是該積分對求解 ∫ ──── dx "可能"無實質幫助
-∞ x(1+x^2)
※ 編輯: doom8199 來自: 61.64.93.41 (02/03 23:31)