※ 引述《donod (我所知道的只有一件事)》之銘言： : 1.對x積分從負無限到正無限 cos(mx)/(x^2+1) dx : 2.對x積分從零到無限 1/(1+x^2+x^4) dx : 第2題我用x=e^y去做變數變換，但是得到一個1/{(coshx)^2-1}後， : 我就做不下去了！ : : 推 G41271 :這些都是複變經典題目耶 01/21 22:40 : → donod :我是有想到複變去，但是那邊還沒復習到，謝謝樓上 01/21 22:44 : → donod :不過我力學老師說，所有微積分都可以不用靠複變作 01/21 22:45 : → donod :所以想試試看 01/21 22:45 : 推 G41271 :是可以啦 01/21 22:46 : 推 sm008150204 :1+x^2+x^4 = (1-x+x^2)(1+x+x^2+)然後用部分分式 01/21 23:28 其餘恕刪,上週有看到這篇,不過那時再忙,今天忽然想到 "所有微積分都可以不用靠複變作"這句,所以來回文一下. 1. ∞ cosmx ∫ --------- dx -∞ 1 + x^2 這題積不出來,初微無效. 法一: Laplace Transform 用LT來解這題普遍見於工數書的LT應用章節內. 要用LT,必須要求t>0,所以令｜m｜= t, 則 ∞ cosmx ∞ costx ∫ --------- dx = ∫ --------- dx = I(t) . -∞ 1 + x^2 -∞ 1 + x^2 ∞ 1 ∞ 1 s L{I(t)} = ∫ --------- L{costx} dx = ∫ --------- ----------- dx -∞ 1 + x^2 -∞ 1 + x^2 x^2 + s^2 s ∞ 1 1 = ------- ∫ [--------- - ----------- ] dx s^2-1 -∞ 1 + x^2 x^2 + s^2 s 1 x ∞ = ------- [arctan(x) - --- arctan(---) ] s^2-1 s s -∞ s 1 π = ------- π[ 1 - --- ] = ----- . s^2-1 s s+1 所以 I(t) = L^-1{π/(s+1)} = π e^(-t) ,得 ∞ cosmx ∫ --------- dx = π e^(-｜m｜) . -∞ 1 + x^2 大概是這樣.當然,可以挑出骨頭,LT只對t>0時有效,所以當m=0時,LT會失敗. ∞ 1 ∞ 只好另外寫 ∫ --------- dx = [arctanx] = π = π e^(-0) -∞ 1 + x^2 -∞ ∞ cosmx 所以 ∫ --------- dx = π e^(-｜m｜) -∞ 1 + x^2 法二 雙重積分轉換 名字隨便取的,不知道怎麼叫比較好.隨便. ∞ sinxy let t=｜m｜≧0, 考慮 1/(1+x^2) = ∫ e^(-y) ------- dy 0 x ∞ cosmx ∞ costx ∞ ∞ sinxy ∫ --------- dx = ∫ --------- dx = ∫costx ∫e^(-y) ------- dy dx = -∞ 1 + x^2 -∞ 1 + x^2 -∞ 0 x ∞ ∞ costx sinyx ∫e^(-y) ∫ -------------- dx dy . 0 -∞ x ∞ costx sinyx 1 ∞ sin(y+t)x sin(y-t)x I(y) = ∫ ------------- dx = --- ∫[ ---------- - ----------- ] dx -∞ x 2 -∞ x x = π/2 [ sgn(y+t)-sgn(y-t) ] . ∞ +1,u>0 (∫sinux/x dx = πsgn(u) ,見352篇(也是雙重積分解,沒用到複變).sgn(u) = 0,u=0 ) -∞ -1,u<0 π, y>t 所以I(y) = π/2, y=t 0, y<t 回到原式: ∞ ∞ costx sinyx ∞ ∫e^(-y) ∫ -------------- dx dy = ∫e^(-y) I(y) dy = 0 -∞ x 0 ∞ ∫e^(-y) π dy = πe^(-t) . 得 t ∞ cosmx ∫ --------- dx = π e^(-｜m｜) . -∞ 1 + x^2 PS:此法也可以寫成Inverse Laplace Transform. 法三 Fourier Transform 考慮 G(k) = e^(-｜k∣) 的 Inverse Fourier Transform, 1 ∞ F^-1{G(k)} = ------- ∫ e^(-｜k∣) e^(ikx) dk √(2π) -∞ 1 ∞ √2 1 = -------- 2 ∫e^(-k) coskx dk = ----- -------- = g(x) √(2π) 0 √π x^2 +1 1 ∞ √2 所以 F{g(x)} = ------- ∫ ------------ e^(-ikx) dx = G(k) , 得 √(2π) -∞ √π(x^2 +1) ∞ e^(-ikx) ∞ coskx ∫ ----------- dx = πe^(-｜k｜) , 2 ∫ --------- dx = π e^(-｜k｜),得 -∞ (x^2 +1) 0 1 + x^2 ∞ coskx ∫ --------- dx = π e^(-｜k｜) , 再把k換成m即得解. -∞ 1 + x^2 PS:第三個很明顯是由答案去湊解法,但算式最短,考試時這樣寫最快. 有錯請指正 --

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