作者sulanpa (...)
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標題Re: [中學] 不等式一題
時間Wed Dec 29 02:01:21 2010
※ 引述《freePrester (Prester)》之銘言：
: 2 2 2
: 已知 x,y,z > 0 且 x + y + z = 1
: xy yz zx
: 試求 ---- + ---- + ---- 的最小值
: z x y
: 我知道答案是 √3 ，但我不知道要怎麼推出結論。
: 還請各位賜教。
(i)
(x^2 + y^2 + z^2)/3 = 1/3 ≧ (xyz)^(2/3)
=> (1/3)^(1/2) ≧ (xyz)^(1/3)
"="成立時
x^2 = y^2 = z^2 = 1/3
(ii)
[(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)]/3 ≧ (xyz)^(1/3)
"="成立時
xy/z = yz/x = zx/y
=> x^2 = y^2 = z^2
由(i)(ii)可知
Min[(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)] = 3*(1/3)^(1/2)
=> Min[(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)] = sqrt[3]
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.66.158
1F：推 lakb :第一個=成立時，應該是X^2=Y^2=Z^2,且X^2+Y^2+Z^2=1 12/29 03:47
2F：→ lakb :所以x^2=y^2=z^2=1/3，x=y=z=1/sqrt[3]吧? 12/29 03:48
感謝
※ 編輯: sulanpa 來自: 140.113.66.158 (12/29 08:53)
3F：推 freePrester :感謝你 12/29 09:58
4F：→ G41271 :錯啦 最好隨便用個科西算幾就算得證 12/29 10:59
5F：→ G41271 :A=(x^2+y^2+z^2)/3,B=(xyz)^(1/3),C=xy/z+yz/x+zx/y 12/29 11:02
6F：→ G41271 :(1)知A>=B,(2)知C>=B,所以C>=A??? 12/29 11:04
"="成立時
(i) (ii) 條件相同
(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)/3 = (1/3)^(1/2) = (xyz)^(1/3)
※ 編輯: sulanpa 來自: 140.113.66.158 (12/29 12:19)
7F：→ suhorng :之前有想過這樣,但是怪怪的... 12/29 19:40
8F：→ a88241050 :條件相同不代表(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)的最小值就是√3 12/29 20:55
9F：→ a88241050 :(i)"="成立時,(xyz)^(1/3)的最"大"值=(1/3)^(1/2) 12/29 21:09
10F：→ a88241050 :(ii)"="成立時,[(xy/z)+(yz/x)+(zx/y)]/3的最小值= 12/29 21:10
11F：→ a88241050 :(xyz)^(1/3),但此時的(xyz)^(1/3)不能確保是最小值 12/29 21:10
12F：→ a016258 :推樓上~~~ 覺得怪怪 但是不知道怎麼解釋~XD 12/30 13:23