※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言： : Q1: : r: 實數, a,b,c ... : 向量 : --------- : r(a+b)=ra+rb : 那麼 ra+rb=r(a+b) : 等號在證明的時候, 即為 <=> 的關係嗎? : 若一個證明是 a(b+c)=ab+ac, 證明的過程類似於此 : a(b+c)=..... : =...... : =..... : =ab+ac : 那麼, a(b+c)<=>ab+ac 嗎? : 假設有一天證明的過程 如下 : x=y, : x^2=y^2, : 所以推論符號僅能 => 而不能雙向 : @_____@ ... : 所以等號有<=>之意? <=> 是邏輯上的語言，說明 a(b+c) => ab+ac 並沒有意義。 而 = 有幾種方式處理他，當作集合上的等價關係來看，那麼上述等式的推導， 就只是反覆使用 transtivity 得到的結果。 或者直接在邏輯系統引入等式，並且將 reflexivity, symmetry, transtivity 三者帶入。 : 數學證明過程中, 無法使用等號之時(例如同取平方, log ...) : 就極有可能只能 => 過去 而不能雙向的 <=> ? : 如果恰好是雙向的 <=>, 那麼右式往左式 <= 的證明往往會跟左往右的證明方法不同? : 一個 某某東西的證明, 從頭到尾 : = ...... : = ...... : = ...... : = .. = 要証的東西出現了 : 所以可得 !@#$$ <=> (*&^^% 嗎? : Q2: : 2 2 : x = y : 要推到 x=y, 得要知道 x,y>0 才行 : 有沒有辦法用數學式子說明一下? : 用想的是沒問題, 但是想用式子來寫(例如考試證明題) : x^2=y^2 : 兩邊根號 ?_? 這樣說吧，當你知道 x = y, 以及一個函數 f(x) 時， 自然會有個直覺是 f(x) = f(y)，這規則叫做 substitutivity 這邊同樣的道理，實際上是 f(x) = √x 的函數，定義域在 x > 0 上， 套用 x^2 = y^2 進去，得到 f(x^2) = f(y^2) 而且 f(x^2) = x, f(y^2) = y，套用遞移律得到 x = y 在 x, y > 0 上。 這些並不是原本就有的定義，而是當試圖將「直覺」 講清楚，整理化簡出來的「規則」。但等式其實是一個很強的觀念， 尤其是 ZF 集合論上的 axiom of extensionality， 當集合元素都相等，則集合就一樣。拿到其他角度來看， 並不一定合理，例如演算法吧，兩個給定同樣輸入， 會算出同樣結果的演算法，在這想法上是相等的， 但是效率上可能差非常多，這觀念在這邊就不適用。 --

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