※ 引述《TaiwanBank (澳仔金控台灣分行)》之銘言： : 假設 f(x) 是區間 [a,b] 上的囿變函數 (有界變差函數), : π = {x_0, x_1, ..., x_n} 是 [a,b] 的分割, 定義 : A(π) = { k : f(x_k) - f(x_{k-1}) > 0 } : B(π) = { k : f(x_k) - f(x_{k-1}) < 0 } : 且和數 : p_f(a,b) = sup { Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) } : π k in A(π) : n_f(a,b) = sup { Σ ∣f(x_k) - f(x_{k-1})} : π k in B(π) : 分別稱為 f(x) 在 [a,b] 上的正變差和負變差. : n : 令 V(x) = sup { Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| : a = x_0 < ... < x_n = x}, : 1 : p(x) = p_f(a,x), n(x) = n_f(a,x) 且令 V(a) = p(a) = n(a) = 0, : 試證: : (1) V(x) = p(x)+n(x); : (2) 0 ≦ p(x) ≦ V(x), 以及 0 ≦ n(x) ≦ V(x); : (3) 在 [a,b] 上 p(x), n(x) 是增函數; : (4) f(x) = f(a) + p(x) - n(x); : (5) 2p(x) = V(x) + f(x) - f(a), : 2n(x) = V(x) - f(x) + f(a); : (6) f(x) 的每個連續點也是 p(x) 和 n(x) 的連續點. 證明: 本題證明之次序為 (2) , (3) , (5) , (1) , (4) , (6) (2) 設 a < x ≦ b , 若 π 屬於 π[a , x] 且 π = {a = x_0 , x_1 , ... , x_n = x} , 則 n Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) ≦ Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| k屬於A(π) k=1 => Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) ≦ V(x) k屬於A(π) n Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| ≦ Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| k屬於B(π) k=1 => Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| ≦ V(x) k屬於B(π) 因 π 為任意之分割 , 由 p(x) 與 n(x) 之定義即得 0 ≦ p(x) ≦ V(x) , 0 ≦ n(x) ≦ V(x) (3) 設 a < x < y ≦ b 若 π 屬於 π[a,x] 則 π' = π∪{y} 為區間 [a,y] 之一分割 , 因此 Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) ≦ Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) ≦ p(y) k屬於A(π) k屬於A(π') Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| ≦ Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| ≦ n(y) k屬於B(π) k屬於B(π') 因 π 為任意之分割 , 由 p(x) 與 n(x) 之定義即得 p(x) ≦ p(y) , n(x) ≦ n(y) 所以在 [a,b] 上 p(x) , n(x) 是增函數 (5) 設 a < x ≦ b , 若 π 屬於 π[a,x] 且 π = {a = x_0 , x_1 , ...... , x_n = x} , 則 f(x) - f(a) n = Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) k=1 = Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) + Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) k屬於A(π) k屬於B(π) = Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) - Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| k屬於A(π) k屬於B(π) n Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| k=1 = Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) + Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| k屬於A(π) k屬於B(π) 所以得到 n 2 Σ f(x_k) - f(x_{k-1}) = Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| + f(x) - f(a) k屬於A(π) k=1 n 2 Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| = Σ |f(x_k) - f(x_{k-1})| + f(a) - f(x) k屬於B(π) k=1 因 π 為任意之分割 , 由 V(x) , p(x) 與 n(x) 之定義即得 2p(x) = V(x) + f(x) - f(a) , 2n(x) = V(x) + f(a) - f(x) (1) 將(5)中之二式相加即得 2p(x) + 2n(x) = 2V(x) => V(x) = p(x) + n(x) (4) 將(5)中之二式相減即得 2p(x) - 2n(x) = 2f(x) - 2f(a) => p(x) - n(x) = f(x) - f(a) => f(x) = f(a) + p(x) - n(x) (6) 若 x_0 為 f 之連續點 , 則 x_0 為 V(x) 之連續點 因此由(5)知 x_0 亦為 p(x) 與 n(x) 之連續點 --

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