※ [本文轉錄自 Marginalman 看板 #1Qx5aoOF ] 作者: shiburin (希布凜) 看板: Marginalman 標題: [閒聊] 心愛仍未知道那天所見的煙火花色 時間: Fri May 4 20:59:28 2018 Abstract 大家好，繼上次討論心愛是否有趕上煙火大會後 我們來繼續探討心愛是否真的 跟智乃看到了一樣花色的煙火 https://imgur.com/1h4uqpW 1.Four-vector 這個問題可以從智乃座標系的 wt-kx 經過 Lorentz 變換 (t,x) -> (t',x') 可以得到心愛座標系中的 w't'-k'x' 來知道 w'，也就是心愛座標系中她看到的煙火顏色 因為 wt-kx 在四維空間上的 gradient 是 K = k(1,e) 我們可以用 K 來代表波 w 就是頻率、e 就是波的在實際三維中的傳遞方向。 這種寫法基本上就只是把 wt-kx 看成四維向量而已 Side Note 這個 K 向量是類光(lightlike)，意思就是他是像光一樣傳遞的。 還有四維向量的時間分量是正的 使這個波是朝向未來的(future pointing)而不是回到過去，以符合因果關係。 2.Lorentz Invariant 現在我們求新的 w'，我們當然可以直接做 wt-kx 到 w't'-k'x' 的 Lorentz 變換。 不過問題是，這通常很不好做，另外一個作法就是用度量(Metric) 以及代表這個波的向量K 度量就是四維時空版本的內積 寫作 g(X,Y) = ct*cτ-x1*x2-y1*y2-z1*z2，c 是光速 在三維裡 內積 <x,y> = x1*x2+y1*y2+z1*z2可以獲得長度以及向量夾角的資訊 而且獲得的長度以及相對夾角等資訊並不會在做旋轉後改變 同樣地，Lorentz變換就是四維時空版本的旋轉 它也不會改變度量 3.Result 現在我們來看心愛的座標系： 因為心愛在自己的座標系是站在原點不動的 心愛的位置向量 H' = (ct',0,0,0) 則她與在她的座標系煙火 K' = w'(1,e')的度量 g(H',K') 就是 cw' 但是我們方才說過，度量是 Lorentz Invariant。 所以在智乃的座標系，心愛是 H = (ct,vt,0,0)，v 就是心愛移動的速度 K = w(1,e) 所以，g(H,K) = (c-v*cosθ)w*t = cw'*t' 其中θ是智乃看到煙火光線以及心愛移動方向的夾角 因為時間膨脹為 γt = t' 所以 γ(1-c/v*cosθ)w = w' 在一階近似底下(γ做個 Taylor expansion) 可以得到Δλ/λ = v*cosθ/c，代入 v = 6 km/hr = 1.67m/s 以及 λ= 650 nm 大約又是 飛米 10^(-15)m 的差距 這件事情有很重要嗎？或許沒有，但是各位大概會聽到以下的對話： 心愛：「吶吶智乃醬昨天的煙火好好看哦」 智乃：「嗯...我是第一次見到那樣緋紅的煙火」 心愛：「誒～有嗎？看起來沒有很紅啊」 智乃：「心愛桑的眼睛太累了吧」 心愛：「沒有吧，差了大約10^-15m吧」 智乃：「...」 大概是這種感覺吧，嗯 -- 「人們不相信數學簡單，是因為他們仍未意識到生命之複雜」 約翰‧馮‧紐曼 https://imgur.com/QbJqLSr --

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ※ 轉錄者: dragon327 (114.40.175.77), 05/04/2018 22:02:30