※ [本文转录自 Marginalman 看板 #1Qx5aoOF ] 作者: shiburin (希布凛) 看板: Marginalman 标题: [闲聊] 心爱仍未知道那天所见的烟火花色 时间: Fri May 4 20:59:28 2018 Abstract 大家好，继上次讨论心爱是否有赶上烟火大会後 我们来继续探讨心爱是否真的 跟智乃看到了一样花色的烟火 https://imgur.com/1h4uqpW 1.Four-vector 这个问题可以从智乃座标系的 wt-kx 经过 Lorentz 变换 (t,x) -> (t',x') 可以得到心爱座标系中的 w't'-k'x' 来知道 w'，也就是心爱座标系中她看到的烟火颜色 因为 wt-kx 在四维空间上的 gradient 是 K = k(1,e) 我们可以用 K 来代表波 w 就是频率、e 就是波的在实际三维中的传递方向。 这种写法基本上就只是把 wt-kx 看成四维向量而已 Side Note 这个 K 向量是类光(lightlike)，意思就是他是像光一样传递的。 还有四维向量的时间分量是正的 使这个波是朝向未来的(future pointing)而不是回到过去，以符合因果关系。 2.Lorentz Invariant 现在我们求新的 w'，我们当然可以直接做 wt-kx 到 w't'-k'x' 的 Lorentz 变换。 不过问题是，这通常很不好做，另外一个作法就是用度量(Metric) 以及代表这个波的向量K 度量就是四维时空版本的内积 写作 g(X,Y) = ct*cτ-x1*x2-y1*y2-z1*z2，c 是光速 在三维里 内积 <x,y> = x1*x2+y1*y2+z1*z2可以获得长度以及向量夹角的资讯 而且获得的长度以及相对夹角等资讯并不会在做旋转後改变 同样地，Lorentz变换就是四维时空版本的旋转 它也不会改变度量 3.Result 现在我们来看心爱的座标系： 因为心爱在自己的座标系是站在原点不动的 心爱的位置向量 H' = (ct',0,0,0) 则她与在她的座标系烟火 K' = w'(1,e')的度量 g(H',K') 就是 cw' 但是我们方才说过，度量是 Lorentz Invariant。 所以在智乃的座标系，心爱是 H = (ct,vt,0,0)，v 就是心爱移动的速度 K = w(1,e) 所以，g(H,K) = (c-v*cosθ)w*t = cw'*t' 其中θ是智乃看到烟火光线以及心爱移动方向的夹角 因为时间膨胀为 γt = t' 所以 γ(1-c/v*cosθ)w = w' 在一阶近似底下(γ做个 Taylor expansion) 可以得到Δλ/λ = v*cosθ/c，代入 v = 6 km/hr = 1.67m/s 以及 λ= 650 nm 大约又是 飞米 10^(-15)m 的差距 这件事情有很重要吗？或许没有，但是各位大概会听到以下的对话： 心爱：「呐呐智乃酱昨天的烟火好好看哦」 智乃：「嗯...我是第一次见到那样绯红的烟火」 心爱：「诶～有吗？看起来没有很红啊」 智乃：「心爱桑的眼睛太累了吧」 心爱：「没有吧，差了大约10^-15m吧」 智乃：「...」 大概是这种感觉吧，嗯 -- 「人们不相信数学简单，是因为他们仍未意识到生命之复杂」 约翰‧冯‧纽曼 https://imgur.com/QbJqLSr --

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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ※ 转录者: dragon327 (114.40.175.77), 05/04/2018 22:02:30