※ [本文轉錄自 NUMB3RS 看板] 作者: fff0722 (小葛好可愛>/////<) 看板: NUMB3RS 標題: Re: [數學] 三門問題 時間: Mon Jul 28 22:11:49 2008 颱風天賺到的假期正好用來寫數學XDDDDDDDDDDD 當然這個之前就有板友們解釋了～ 可是我剛好學到嘛～就拿來再說一遍吧（任性中） -- 那我就不廢話了～～ ▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂ ◢ ﹏ ◣ Numb3rs 數學討論 ︵﹋︵ 本日主題： ∕ ▽ ﹨ 三 門 問 題 <﹀－ ▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆ ￣￣￣￣ 太太，太懶了吧，這跟上一版本一樣阿～ \ -- ◢ ﹏ ◣ 少囉唆！ ⊙﹋⊙ 動畫不是我的擅長啊！ ∕ 皿 ﹨ 炸你全家喔！ ☆/ ﹀@m ￣￣￣￣ ……好啦～快說數學吧～ \ -- ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▉ ▉ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▉ ▉ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▉ ▉ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▉ ▉ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▉ ▉ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ │ ～ ︱ 〈﹀﹨ ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：首先我們有三道門， ￣￣￣￣ 本來應該討論 I II III 分別是獎品車子的情況…… -- ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ▌ ▌ ▌ ▆ ▌ ▌ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ▆▆█▆▆ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▅▅█▅▅ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▊ █ █ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▊▆█▆█ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▊ █ █ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ █████ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ▆▆█▆▆ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▌ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ 嘰咕~∕ Σ ﹨ <﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：但由於我很懶所以直接假設 II 號門是車子。 ￣￣￣￣ （反正結果相同嘛～XD）其他兩者就是山羊。 -- 選擇 Ⅰ(羊) ╱ 1/3 ╱ ╱ ‧── Ⅱ(車) ╲ 1/3 ╲ ╲ Ⅲ(羊) 1/3 ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ ▽ ﹨ ︶﹀︶ ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：首些我們必須選擇，這裡假定機率是公平的1/3。 ￣￣￣￣ 我想很好理解，你說是吧～Colby～ Colby：你問這是什麼意思！？（惱羞成怒） -- 選擇 Charlie開 Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ╱ ┌─Ⅰ(羊) ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ╲ 1/2 ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) 1/3 1 ◢ ﹏ ◣? 太簡單了~ ︶﹋︶ ∕ ▽ ﹨ V ﹀β ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：接著，Charlie會開啟另一扇門。如果你選的是I或III ￣￣￣￣ 門，Charlie所能開啟的門也剩一個選擇，此時機率是 100% = 1。若選的是II門，Charlie會有兩個選擇50%。 -- 選擇 Charlie開 換∕不換 ┌─ 換 1/2 Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 換 1/2 ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 1/3 1 └─ 不換 1/2 ◢ ﹏ ◣? □﹋□ ＋ ∕ ﹀ ﹨ ─﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：重要的來了，你將能選擇換或不換。這邊也假設你的 ￣￣￣￣ 選擇機率是1/2。 -- 選擇 Charlie開 換∕不換 結果 ┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) 1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ ▽ ﹨ <﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：於是，整個貝氏機率樹狀圖就完成了！ ￣￣￣￣ -- ◢ ﹏ ◣ 第一階段完成！希望大家沒有眼花繚亂。 ＠﹋＠ 看回原題目，我們所要求算的是； ∕ ﹏ ﹨ ﹌﹀﹌ 選擇換的得獎機率是否大於選擇不換的得獎機率？ 換的前提下得獎＞不換的前提下得獎？ ￣￣￣￣ 所以讓我們先來求出選擇換的機率吧！ -- 選擇 Charlie開 換∕不換 結果 ┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) 1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ 加油!∕ ▽ ﹨ └﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：讓我們一條條算起吧～ ￣￣￣￣ （用紅色線表示） -- 選擇 Charlie開 換∕不換 結果 ┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) 1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ １ ﹨ └﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + ￣￣￣￣ -- 選擇 Charlie開 換∕不換 結果 ┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) 1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ ２ ﹨ └﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1/2)*(1/2) + ￣￣￣￣ -- 選擇 Charlie開 換∕不換 結果 ┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) 1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ 親一個~∕ ３ ﹨ └﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1/2)*(1/2) + ￣￣￣￣ (1/3)*(1/2)*(1/2) + -- 選擇 Charlie開 換∕不換 結果 ┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) 1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ ４ ﹨ └﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1/2)*(1/2) + ￣￣￣￣ (1/3)*(1/2)*(1/2) + (1/3)*(1)*(1/2)……算完了。 -- 選擇 Charlie開 換∕不換 結果 ┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) 1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ 大功告成!∕ ε ﹨ 〈﹀﹀ ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1/2)*(1/2) + ￣￣￣￣ (1/3)*(1/2)*(1/2) + (1/3)*(1)*(1/2) = 1/2 → 選擇換 的機率是1/2（這是廢話XD） -- 選擇 Charlie開 換∕不換 結果 ┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) 1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ 再一次!加油!∕ ▽ ﹨ └﹀┘ ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：現在讓我們依照剛剛的模式，求出選擇換後得獎的機 ￣￣￣￣ 率吧（用黃色線表示） -- 選擇 Charlie開 換∕不換 結果 ┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) 1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ 一 ﹨ └﹀┘ ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + ￣￣￣￣ -- 選擇 Charlie開 換∕不換 結果 ┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) 1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ 二 ﹨ └﹀┘ ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1)*(1/2)…結束。 ￣￣￣￣ -- 選擇 Charlie開 換∕不換 結果 ┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車) 1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ■﹋■ 真相只有一個!∕ △ ﹨ / ﹀@m ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1)*(1/2) ￣￣￣￣ =1/3 →選擇換且得獎的機率 -- ◢ ﹏ ◣ 結果：在換的前提下得獎機率是… 。﹋。 ∕ ︶ ﹨ <﹀─ Ｐ（得獎∩換） 1/3 2 ─────── ＝ ────── ＝ ── ￣￣￣￣ Ｐ（換） 1/2 3 -- ◢ ﹏ ◣ 當然，在不換的前提下，得獎機率將是： ﹦﹋﹦ 1 ∕ ﹏ ﹨ 1－Ｐ（得獎｜換）＝ ── V ﹀)" ↑這是指換的 3 前提下得獎 ￣￣￣￣ 這是很基本的邏輯，當然你也可以重算一次 Ｐ（得獎∩不換） ──────── ，我就不算了XDDDDD Ｐ（不換） -- ◢ ﹏ ◣ 最後我們將得到這結論！ ■﹋■ ｜ △ ｜ Ｐ（得獎｜換）＞Ｐ（得獎｜不換） / ﹀ \ 也就是說『換』的得獎機率比『不換』來的高， ￣￣￣￣ 因此我們該選擇『換』。 -- Charlie：所以你選擇換囉？ ◢ ﹏ ◣ ＄﹋＄ 換換換換！我要換！ ╯ ﹁ ╰ 哈哈哈哈！我發財了! \~|﹀|~/ 2/3的機率耶！ ￣￣￣￣ -- Charlie：好的，恭喜你得到…… ◢ ﹏ ◣ ≧﹋≦ ╯ ▽ ╰ 車～車～車～車～車～ d﹀b ￣￣￣￣ -- Charlie：……… ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ? ▌ ＿ ＿ ▌ ▌ ▅ ▅ ▌ 咩～ ▌ ◢￣◢￣ ▌ / ▌ ◢ ≡ ◣ ▌ ▌◥ 〒 〒 ◤▌ ▌ ▌ ▌ ▏/ \ ▊ ▌ ▌ ◥□ ◤ ▌ ▌ ν ▌ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ 山羊。 -- ┘└ …… ┐┌ ◢ ﹏ ◣ ▁▁▁ ←如果是天生帶賽者就沒辦法了， │ ▁ │ 畢竟這是機率問題嘛～( ￣ c￣)y▂ξ /﹀\ ￣￣￣￣ -- 再次感謝大家的收看……… ▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂ ◢ ◣ Numb3rs 數學討論 ﹨ ∕ ◥ ◤ END n﹀n ▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆ ￣￣￣￣ （複製上次的貼上XD） -- --

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