※ [本文转录自 NUMB3RS 看板] 作者: fff0722 (小葛好可爱>/////<) 看板: NUMB3RS 标题: Re: [数学] 三门问题 时间: Mon Jul 28 22:11:49 2008 台风天赚到的假期正好用来写数学XDDDDDDDDDDD 当然这个之前就有板友们解释了～ 可是我刚好学到嘛～就拿来再说一遍吧（任性中） -- 那我就不废话了～～ ▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂ ◢ ﹏ ◣ Numb3rs 数学讨论 ︵﹋︵ 本日主题： ∕ ▽ ﹨ 三 门 问 题 <﹀－ ▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆ ￣￣￣￣ 太太，太懒了吧，这跟上一版本一样阿～ \ -- ◢ ﹏ ◣ 少罗唆！ ⊙﹋⊙ 动画不是我的擅长啊！ ∕ 皿 ﹨ 炸你全家喔！ ☆/ ﹀@m ￣￣￣￣ ……好啦～快说数学吧～ \ -- ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▉ ▉ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▉ ▉ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▉ ▉ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▉ ▉ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▉ ▉ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ │ ～ ︱ 〈﹀﹨ ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：首先我们有三道门， ￣￣￣￣ 本来应该讨论 I II III 分别是奖品车子的情况…… -- ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ▌ ▌ ▌ ▆ ▌ ▌ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ▆▆█▆▆ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▅▅█▅▅ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▊ █ █ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▊▆█▆█ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▊ █ █ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ █ ▌ ▌ █████ ▌ ▌ ▊▊▊ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ▆▆█▆▆ ▌ ▌ ████ ▌ ▌ ▌ ▌ █ ▌ ▌ ▌ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ 叽咕~∕ Σ ﹨ <﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：但由於我很懒所以直接假设 II 号门是车子。 ￣￣￣￣ （反正结果相同嘛～XD）其他两者就是山羊。 -- 选择 Ⅰ(羊) ╱ 1/3 ╱ ╱ ‧── Ⅱ(车) ╲ 1/3 ╲ ╲ Ⅲ(羊) 1/3 ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ ▽ ﹨ ︶﹀︶ ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：首些我们必须选择，这里假定机率是公平的1/3。 ￣￣￣￣ 我想很好理解，你说是吧～Colby～ Colby：你问这是什麽意思！？（恼羞成怒） -- 选择 Charlie开 Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ╱ ┌─Ⅰ(羊) ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ╲ 1/2 ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) 1/3 1 ◢ ﹏ ◣? 太简单了~ ︶﹋︶ ∕ ▽ ﹨ V ﹀β ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：接着，Charlie会开启另一扇门。如果你选的是I或III ￣￣￣￣ 门，Charlie所能开启的门也剩一个选择，此时机率是 100% = 1。若选的是II门，Charlie会有两个选择50%。 -- 选择 Charlie开 换∕不换 ┌─ 换 1/2 Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不换 1/2 ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 换 1/2 ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不换 1/2 ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 换 1/2 ╲ 1/2 └─ 不换 1/2 ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 换 1/2 1/3 1 └─ 不换 1/2 ◢ ﹏ ◣? □﹋□ ＋ ∕ ﹀ ﹨ ─﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：重要的来了，你将能选择换或不换。这边也假设你的 ￣￣￣￣ 选择机率是1/2。 -- 选择 Charlie开 换∕不换 结果 ┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) 1/3 1 └─ 不换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ ▽ ﹨ <﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：於是，整个贝氏机率树状图就完成了！ ￣￣￣￣ -- ◢ ﹏ ◣ 第一阶段完成！希望大家没有眼花缭乱。 ＠﹋＠ 看回原题目，我们所要求算的是； ∕ ﹏ ﹨ ﹌﹀﹌ 选择换的得奖机率是否大於选择不换的得奖机率？ 换的前提下得奖＞不换的前提下得奖？ ￣￣￣￣ 所以让我们先来求出选择换的机率吧！ -- 选择 Charlie开 换∕不换 结果 ┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) 1/3 1 └─ 不换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ 加油!∕ ▽ ﹨ └﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：让我们一条条算起吧～ ￣￣￣￣ （用红色线表示） -- 选择 Charlie开 换∕不换 结果 ┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) 1/3 1 └─ 不换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ １ ﹨ └﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + ￣￣￣￣ -- 选择 Charlie开 换∕不换 结果 ┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) 1/3 1 └─ 不换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ ２ ﹨ └﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1/2)*(1/2) + ￣￣￣￣ -- 选择 Charlie开 换∕不换 结果 ┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) 1/3 1 └─ 不换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ 亲一个~∕ ３ ﹨ └﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1/2)*(1/2) + ￣￣￣￣ (1/3)*(1/2)*(1/2) + -- 选择 Charlie开 换∕不换 结果 ┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) 1/3 1 └─ 不换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ ４ ﹨ └﹀> ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1/2)*(1/2) + ￣￣￣￣ (1/3)*(1/2)*(1/2) + (1/3)*(1)*(1/2)……算完了。 -- 选择 Charlie开 换∕不换 结果 ┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) 1/3 1 └─ 不换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ 大功告成!∕ ε ﹨ 〈﹀﹀ ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1/2)*(1/2) + ￣￣￣￣ (1/3)*(1/2)*(1/2) + (1/3)*(1)*(1/2) = 1/2 → 选择换 的机率是1/2（这是废话XD） -- 选择 Charlie开 换∕不换 结果 ┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) 1/3 1 └─ 不换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ 再一次!加油!∕ ▽ ﹨ └﹀┘ ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：现在让我们依照刚刚的模式，求出选择换後得奖的机 ￣￣￣￣ 率吧（用黄色线表示） -- 选择 Charlie开 换∕不换 结果 ┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) 1/3 1 └─ 不换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ 一 ﹨ └﹀┘ ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + ￣￣￣￣ -- 选择 Charlie开 换∕不换 结果 ┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) 1/3 1 └─ 不换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ︿﹋︿ ∕ 二 ﹨ └﹀┘ ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1)*(1/2)…结束。 ￣￣￣￣ -- 选择 Charlie开 换∕不换 结果 ┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╱ 1/3 1 ╱ ┌─ 换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ‧── Ⅱ(车) ─┤ 1/2 ╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅰ(羊) ╲ 1/2 └─ 不换 1/2 ──── Ⅱ(车) ╲ Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 换 1/2 ──── Ⅱ(车) 1/3 1 └─ 不换 1/2 ──── Ⅲ(羊) ◢ ﹏ ◣? ■﹋■ 真相只有一个!∕ △ ﹨ / ﹀@m ╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴ fff0722：(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1)*(1/2) ￣￣￣￣ =1/3 →选择换且得奖的机率 -- ◢ ﹏ ◣ 结果：在换的前提下得奖机率是… 。﹋。 ∕ ︶ ﹨ <﹀─ Ｐ（得奖∩换） 1/3 2 ─────── ＝ ────── ＝ ── ￣￣￣￣ Ｐ（换） 1/2 3 -- ◢ ﹏ ◣ 当然，在不换的前提下，得奖机率将是： ﹦﹋﹦ 1 ∕ ﹏ ﹨ 1－Ｐ（得奖｜换）＝ ── V ﹀)" ↑这是指换的 3 前提下得奖 ￣￣￣￣ 这是很基本的逻辑，当然你也可以重算一次 Ｐ（得奖∩不换） ──────── ，我就不算了XDDDDD Ｐ（不换） -- ◢ ﹏ ◣ 最後我们将得到这结论！ ■﹋■ ｜ △ ｜ Ｐ（得奖｜换）＞Ｐ（得奖｜不换） / ﹀ \ 也就是说『换』的得奖机率比『不换』来的高， ￣￣￣￣ 因此我们该选择『换』。 -- Charlie：所以你选择换罗？ ◢ ﹏ ◣ ＄﹋＄ 换换换换！我要换！ ╯ ﹁ ╰ 哈哈哈哈！我发财了! \~|﹀|~/ 2/3的机率耶！ ￣￣￣￣ -- Charlie：好的，恭喜你得到…… ◢ ﹏ ◣ ≧﹋≦ ╯ ▽ ╰ 车～车～车～车～车～ d﹀b ￣￣￣￣ -- Charlie：……… ◢▃▃▃▃▃▃▃◣ ? ▌ ＿ ＿ ▌ ▌ ▅ ▅ ▌ 咩～ ▌ ◢￣◢￣ ▌ / ▌ ◢ ≡ ◣ ▌ ▌◥ 〒 〒 ◤▌ ▌ ▌ ▌ ▏/ \ ▊ ▌ ▌ ◥□ ◤ ▌ ▌ ν ▌ ◥▅▅▅▅▅▅▅◤ 山羊。 -- ┘└ …… ┐┌ ◢ ﹏ ◣ ▁▁▁ ←如果是天生带赛者就没办法了， │ ▁ │ 毕竟这是机率问题嘛～( ￣ c￣)y▂ξ /﹀\ ￣￣￣￣ -- 再次感谢大家的收看……… ▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂ ◢ ◣ Numb3rs 数学讨论 ﹨ ∕ ◥ ◤ END n﹀n ▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆ ￣￣￣￣ （复制上次的贴上XD） -- --

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