作者gogowin (身世悠悠何足問)
看板Inference
標題Re: [問題] 毛毛蟲爬繩子的問題
時間Mon Jul 28 19:58:40 2008
不好意思 刪光光
題目：有一繩長100m，一端有蝸牛一隻以每分鐘1m速度向另一端爬行。
惟當蝸牛開始爬行後，每整分時繩子均勻拉長100m，試問蝸牛是
否能走到終點？
試解：
1.由於繩子是均勻拉長，所以蝸牛走過的路程佔繩子總長的比例
永遠不會減少。
2.第一分鐘蝸牛走了1m，佔總長的1/100。一分鐘整時繩子拉長
為200m，蝸牛走過的路程為1+1m，依然佔繩長的1/100。
3.第二分鐘蝸牛走了2+1m，佔總長的3/200。二分鐘整時繩子拉長
為300m，蝸牛走過的路程為2+1+1.5m，依然佔繩長的3/200。
4.前n分鐘蝸牛走的路線百分比總和為：
1 1 1 1 1 1
----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ........ -----
100 200 300 400 500 100n
1
= ----- ( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...... + 1/n )
100
5.蝸牛走完全程，即上式>100%，即：
1
----- ( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...... + 1/n ) > 1
100
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/n > 100
6.由於1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n 發散，必存在n使總和
大於100。故，蝸牛可以走到終點。
PS.
將1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 + 1/7 + 1/8 + ...... + 1/n
與1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...... 兩無窮數列做比較
由於 1/3 + 1/4 > 1/2
1/5 + 1/6 + 1/7 +1/8 > 1/2
又1 + 1/2 + 1//2 +.....發散
故無窮數列1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ....... + 1/n 發散
n必存在某數 可使數列總和 > 100
PS2.
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8..... + 1/n > 100
_________ _____________________
> 1/2 > 1/2
需要200個1/2才會大於等於100
扣掉數列前兩項 1 , 1/2 還需要197個
2+4+8+16+............+2的x次方
在x=197時 數列總和+2即為原題蝸牛走到終點的秒數
(近似啦)
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◆ From: 220.137.133.137
1F：推 ckclark:有更好的逼近Hn=ln n + 0.577左右 07/28 20:11
2F：推 jacka1:推這篇 跟我算的一樣 也因為數字太大 所以不會問確切時間 08/02 13:19
3F：→ gogowin:1F....我看不懂....我只有高中一類組數學程度.... 08/02 13:47
4F：推 pAIKAWAq:不可能 若只剩一公尺 還是會拉長到兩倍 蝸牛等速 08/04 03:01
5F：→ pAIKAWAq:蝸牛距離終點是等倍成長..=>發散 根本無收斂... 08/04 03:03
6F：→ pAIKAWAq:離終點越來越遠 怎麼可能會到達 == ==" 08/04 03:03
7F：推 LeoSW:樓上題目明明說每次加100公尺= = 08/15 00:05