※ 引述《leads (leads)》之銘言： : 說真的，我看不出上述推論哪裡有問題，但是我還是覺得蝸牛走不到終點， : 以下是我的想法，請指教 : 假設原本繩長100cm，蝸牛速度 1cm/s，繩子拉長速度100cm/s，我以為就 : 算蝸牛第1秒走了1/100的距離，第二秒走了1/200的距離..... : 蝸牛(*)還是走不完 : (為了說明方便，我把蝸牛向前爬，和繩子拉長分成兩階段說明，我有思考 : 過，結果和二者同時進行應該是一樣的) : *---------------------------------------- : l 100cm l : 蝸牛站(?)在繩子前面，發現繩長100cm，深覺此趟路途遙遠打算慢慢走 : ---*------------------------------------- : l 1 l 99cm l : 過了一秒鐘，蝸牛終於走完1/100的路程，他還來不及感到欣慰，異變突起， : 繩子拉長啦，繩子變成200cm (1/100=2/200) : ---*------------------------------------- : l 2 l 198cm l : 於是，蝸牛發現，隨著繩子的伸長，他的努力發生了奇蹟，他走過的路程變 : 成2cm，然而美中不足的是，他似乎離終點也遠了 : ----*------------------------------------ : l 3 l 197cm l : 接著，蝸牛繼續努力一步一步往前爬，終於被它走完了1/200的路程，它走到 : 了3/200的位置，然後，繩子又拉長到300cm (3/200=4.5/300) : ----*------------------------------------ : l 4.5 l 295.5cm l : 所以，蝸牛走過的3cm又變成4.5cm了 : ----* ----------------------------------- : l 5.5 l 294.5cm l : 相信大家都知道了，我們家鍥而不捨的蝸牛，又努力向前走了1/300的路程，只是 : 繩子又伸長了，拉到了400cm (5.5/300=7.3/400) : ----*------------------------------------ : l 7.3 l 392.7cm l : 繩子從300變成400cm : -----*----------------------------------- : l 8.3 l 391.7cm l : 蝸牛向前移了1/400的路程 (8.3/400=10.4/500) : -----*----------------------------------- : l 10.4 l 489.6cm l : 繩子從400變成500cm : 剩下以此類推 : 這就是我疑惑的地方了，一開始蝸牛距離終點100cm，隨著蝸牛的前進和繩 : 子的拉長，後來距離198cm，第三次距離295.5cm，再來是392.7cm，後來則 : 相距489.6cm，.......... : 蝸牛的速度不變，而他卻離終點越來越遠，他真的有到達終點的一天嗎? 我們來看一隻比較沒那麼可憐的蝸牛好了: 一開始的距離不像這裡是100cm 而是只有4cm 詳細計算就省略了 拉長前 拉長後 剩下路程 走過/剩下 走過/剩下 的增加量 第1秒 1/2 2/6 2 第2秒 3/5 4.5/7.5 1.5 第3秒 5.5/6.5 7.33/8.67 1.1667 第4秒 8.33/7.67 10.41/9.58 0.9167 第5秒 11.41/8.58 13.7/10.3 0.7167 第6秒 14.7/9.3 17.15/10.85 0.65 第7秒 18.15/9.85 20.74/11.26 0.4071 第8秒 21.74/10.26 24.46/11.54 0.2821 第9秒 25.46/10.54 28.29/11.71 0.171 第10秒 29.29/10.71 32.22/11.78 0.071 第11秒 33.22/10.78 36.24/11.76 -0.002 ;蝸牛看到牠的努力終於有了回報 ;這一秒開始牠和終點的距離 ;就會慢慢縮短 ;於是牠就確定可以走完了\(^o^)/ 第12秒 37.24/10.76 40.34/11.66 -0.1032 第13秒 41.34/10.66 44.52/11.48 -0.1801 以下就省略了 注意到剩下路程的增加量是不斷在減少的 以100cm的例子來說 這增加量也是98cm->97.5cm->97.2cm->96.9cm這樣在縮小 雖然縮小幅度有限但仍然在縮小 也就是終有一秒會縮小到0然後變負的 這時就可以知道蝸牛是真的可以走完的了 -- 這個增加量不斷減少也是可以證的 設x秒時還剩下f(x)的路程 x+2 x+2 則x+1秒時剩下的路程是[f(x)-1]*((x+2)/(x+1)) = -----f(x) - ----- x+1 x+1 f(x) x+2 增加量是 ------ - ----- x+1 x+1 / x+2 x+2 \ x+3 x+2秒時剩下的路程是 |-----f(x) - ----- - 1|*----- \ x+1 x+1 / x+2 x+3 (2x+3)(x+3) = -----f(x) - ------------- x+1 (x+1)(x+2) f(x) x^2+5x+5 增加量是 ------ - ------------ x+1 (x+1)(x+2) 這兩個增加量相比 前者第二項是-(x^2+4x+4)/(x+1)(x+2) 後者第二項是-(x^2+5x+5)/(x+1)(x+2) 也就是後者第二項比前者第二項要小 於是後者增加量必然比前者增加量小 -- "LPH" is for "Let Program Heal us".... --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.30.84