作者LPH66 ((short)(-15074))
看板Inference
标题Re: [问题] 毛毛虫爬绳子的问题
时间Thu Jun 19 02:35:23 2008
※ 引述《leads (leads)》之铭言:
: 说真的,我看不出上述推论哪里有问题,但是我还是觉得蜗牛走不到终点,
: 以下是我的想法,请指教
: 假设原本绳长100cm,蜗牛速度 1cm/s,绳子拉长速度100cm/s,我以为就
: 算蜗牛第1秒走了1/100的距离,第二秒走了1/200的距离.....
: 蜗牛(*)还是走不完
: (为了说明方便,我把蜗牛向前爬,和绳子拉长分成两阶段说明,我有思考
: 过,结果和二者同时进行应该是一样的)
: *----------------------------------------
: l 100cm l
: 蜗牛站(?)在绳子前面,发现绳长100cm,深觉此趟路途遥远打算慢慢走
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: l 1 l 99cm l
: 过了一秒钟,蜗牛终於走完1/100的路程,他还来不及感到欣慰,异变突起,
: 绳子拉长啦,绳子变成200cm (1/100=2/200)
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: l 2 l 198cm l
: 於是,蜗牛发现,随着绳子的伸长,他的努力发生了奇蹟,他走过的路程变
: 成2cm,然而美中不足的是,他似乎离终点也远了
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: l 3 l 197cm l
: 接着,蜗牛继续努力一步一步往前爬,终於被它走完了1/200的路程,它走到
: 了3/200的位置,然後,绳子又拉长到300cm (3/200=4.5/300)
: ----*------------------------------------
: l 4.5 l 295.5cm l
: 所以,蜗牛走过的3cm又变成4.5cm了
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: l 5.5 l 294.5cm l
: 相信大家都知道了,我们家锲而不舍的蜗牛,又努力向前走了1/300的路程,只是
: 绳子又伸长了,拉到了400cm (5.5/300=7.3/400)
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: l 7.3 l 392.7cm l
: 绳子从300变成400cm
: -----*-----------------------------------
: l 8.3 l 391.7cm l
: 蜗牛向前移了1/400的路程 (8.3/400=10.4/500)
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: l 10.4 l 489.6cm l
: 绳子从400变成500cm
: 剩下以此类推
: 这就是我疑惑的地方了,一开始蜗牛距离终点100cm,随着蜗牛的前进和绳
: 子的拉长,後来距离198cm,第三次距离295.5cm,再来是392.7cm,後来则
: 相距489.6cm,..........
: 蜗牛的速度不变,而他却离终点越来越远,他真的有到达终点的一天吗?
我们来看一只比较没那麽可怜的蜗牛好了:
一开始的距离不像这里是100cm 而是只有4cm
详细计算就省略了
拉长前 拉长後 剩下路程
走过/剩下 走过/剩下 的增加量
第1秒 1/2 2/6 2
第2秒 3/5 4.5/7.5 1.5
第3秒 5.5/6.5 7.33/8.67 1.1667
第4秒 8.33/7.67 10.41/9.58 0.9167
第5秒 11.41/8.58 13.7/10.3 0.7167
第6秒 14.7/9.3 17.15/10.85 0.65
第7秒 18.15/9.85 20.74/11.26 0.4071
第8秒 21.74/10.26 24.46/11.54 0.2821
第9秒 25.46/10.54 28.29/11.71 0.171
第10秒 29.29/10.71 32.22/11.78 0.071
第11秒 33.22/10.78 36.24/11.76 -0.002 ;蜗牛看到牠的努力终於有了回报
;这一秒开始牠和终点的距离
;就会慢慢缩短
;於是牠就确定可以走完了\(^o^)/
第12秒 37.24/10.76 40.34/11.66 -0.1032
第13秒 41.34/10.66 44.52/11.48 -0.1801
以下就省略了
注意到剩下路程的增加量是不断在减少的
以100cm的例子来说 这增加量也是98cm->97.5cm->97.2cm->96.9cm这样在缩小
虽然缩小幅度有限但仍然在缩小 也就是终有一秒会缩小到0然後变负的
这时就可以知道蜗牛是真的可以走完的了
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这个增加量不断减少也是可以证的
设x秒时还剩下f(x)的路程
x+2 x+2
则x+1秒时剩下的路程是[f(x)-1]*((x+2)/(x+1)) = -----f(x) - -----
x+1 x+1
f(x) x+2
增加量是 ------ - -----
x+1 x+1
/ x+2 x+2 \ x+3
x+2秒时剩下的路程是 |-----f(x) - ----- - 1|*-----
\ x+1 x+1 / x+2
x+3 (2x+3)(x+3)
= -----f(x) - -------------
x+1 (x+1)(x+2)
f(x) x^2+5x+5
增加量是 ------ - ------------
x+1 (x+1)(x+2)
这两个增加量相比 前者第二项是-(x^2+4x+4)/(x+1)(x+2)
後者第二项是-(x^2+5x+5)/(x+1)(x+2)
也就是後者第二项比前者第二项要小 於是後者增加量必然比前者增加量小
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"LPH" is for "Let Program Heal us"....
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◆ From: 140.112.30.84
1F:推 leads:对不起 我把蜗牛想的太可怜了 我的思考的确有缺漏之处 06/19 03:12
2F:推 julieedison:专业XD 06/21 11:43