※ 引述《Nanan (安慶程二)》之銘言： : 這是一個知道答案的証明方法， : 似乎不能算是解法吧？ : 能不能給出一個簡單的解法呢？ : : 先從只有兩人看起 : : 很明顯最後一人坐對的機率是2分之1 : : 接著看三人的情況 : : 1號可以有3種選擇: : : a. 坐到1號位 : : 則3號一定坐對 機率為 1/3*1 : : b. 坐到2號位 : : 那剩下的可能性就變成類似兩人的情況 : : 只是1號位可以視為2號的正確位置 : : 得機率為 1/3*1/2 : : c. 坐到三號位 : : 機率為 0 : : 把三種情況機率相加 1/3 + 1/3*1/2 = 1/2 : : 接著就可以利用數學歸納法 : : 設當 x<n , x 皆成立時 : : 若1號坐到第x號 : : 那剩下的可能性就變成類似只有x人的情況 : : 而x<n的機率已經設為1/2 : : 所以最後一人坐對的機率為 : : ( 1 + 1/2*(n-2) ) / n = 1/2 : : 得證 : : 希望大家看的懂這個爛爛的解法orz.... 這其實就可以是證明的解法了 用條件機率來看的話 各情況下100號坐在自己位置的機會 1號坐在100號的位置 1/100 * 0 (因為位置被坐走了) 1號坐在 99號的位置 99號坐在 1號位 → 100號一定坐在自己的位置 99號坐在100號位 → 100號一定不坐自己的位置 ==> 1/100 * 1/2 (1 + 0) ==> 1/100 * 1/2 1號坐在 98號的位置 98號坐在 1號位 → 天下太平 99、100坐自己的位置 98號坐在 99號位 → 情況變成和上面一樣 此時100坐到自己的位置的機會是1/2 98號坐在100號位 → 100號一定不坐自己的位置 ==> 1/100 * 1/3 (1 + 1/2 + 0) ==> 1/100 * 1/2 1號坐在 97號的位置 97號坐在 1號位 → 天下太平 98、99、100坐自己的位置 97號坐在 98號位 → 和98號的位子被1號坐走一樣 依上一段的證明100坐到自己的位置的機會是1/2 97號坐在 99號位 → 和99號的位子被1號坐走一樣 (因為98就會去坐自己的位置) 此時100坐到自己的位置的機會還是1/2 97號坐在100號位 → 100號一定不坐自己的位置 ==> 1/100 * 1/4 (1 + 1/2 + 1/2 + 0) ==> 1/100 * 1/2 依此類推下去 1號坐在2號位置 100號坐到自己位置的機會也還是 1/100 * 1/2 1號坐在1號位置 100號坐到自己位置的機會則是 1/100 * 1 把這些通通加起來就是100號坐在自己位置上期望值： 1/100 (0 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2......... + 1/2 + 1) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^供98個 (99 → 2) ==>1/100 * 100/2 ==>1/2 -- 這是我當初的解法 不過我認為一定有其它直觀的方式說明機會是1/2 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 218.166.159.190