※ 引述《FAlin (FA（ハガレン）)》之銘言： : 3. Let f : R → R be a real-valued function defined on the set of real numbers : that satisfies : f(x+y) ≦ yf(x) + f(f(x)) : for all real numbers x and y. Prove that f(x) = 0 for all x ≦ 0. 又到了函方時間了::: f=0 是一解，假設非此解 1."f(x)/x →-inf(無限大), as x→inf" 若不然，存在A ，對任意x，存在序列yn→inf，使得 A(x+yn) <= f(x+yn) <= yn f(x) + f(f(x)) x固定yn→inf可得 f(x)>=A，代回得 A<=f(x+y)<=yf(x)+f(f(x)) for all x,y 再讓x固定，y→+inf、-inf 得 f(x)=0，矛盾 2. 代入y=0，得 f(x)<=f(f(x))，和1. 得f有上界M，故f(x+y)<=yf(x)+M 3."f<=0" 若存在 f(z)>0，則as x→-inf，f(x)→-inf 從而 f(f(x))→-inf [此因 f(z+y)<=yf(z)+M，對y取→-inf] 故 f(0) <= x(f(-x)) + M → -inf, as x→inf，矛盾 4. 代入y=f(x)-x，得 f(f(x))<=(f(x)-x)f(x)+f(f(x)) 故 (f(x)-x)f(x)>=0。 因此，若f(a)<0，則f(a)<=a；否則 f(a)=0 特別的a=f(x)時，由2.知 f(a)>=a，故 f(a)=a，或f(a)=0 即對所有x， f(f(x))=f(x) 或 0 5."存在z使得 f(f(z))=0" 若不然，則所有x，f(f(x))=f(x)。 又對y>=0 f(x+y)<=yf(x)+f(f(x))<=f(f(x))=f(x) 知f為遞減，因此f。f遞增，兩者又相等，f只好是常數。和1.矛盾 6. f(0)=f(f(f(z))<=0，但 f(f(f(z))>=f(f(z))=0，故 f(0)=0 7. 若x<0，0=f(0)=f(x+(-x))<=(-x) f(x) <=0，故 f(x)=0 -- r=e^theta 即使有改變，我始終如一。 --

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