作者JGU ( )
看板IMO_Taiwan
標題Re: [問題] IMO 2008 day2
時間Thu Jul 17 23:21:21 2008
※ 引述《boggart0803 (幻形怪)》之銘言：
: Problem 4
: Find all functions f : (0,∞)→(0,∞) (so f is a function from the
: positive real numbers) such that
: (f(w))^2+(f(x))^2 w^2+x^2
: ----------------- = -------
: f(y^2)+f(z^2) y^2+z^2
: for all positive real numbers w, x, y, z, satisfying wx=yz
不知道是不是真的
不過看到函方就亂代一下, 幸好只是第四題, 還真的就代出來了
1. 代 w=x=y=z , 得 (f(x))^2 = f(x^2)
2. 上式代入原式, 得 f(w^2)+f(x^2) w^2+x^2
--------------- = -------
f(y^2)+f(z^2) y^2+z^2
3. (2) 式等同於 f(a)+f(b) a+b
----------- = --- , 對所有正數滿足 ab = cd
f(c)+f(d) c+d
4. (1) 式代 x = 1, 得 f(1) = 1
5. (3) 式代 c = 1, d = ab 得 f(a)+f(b) a+b
----------- = ---- , 對所有正數 a, b
1+f(ab) 1+ab
6. 上式代 a = b 得 f(a)/(1+f(a^2)) = a/(1+a^2)
再代入 (f(a))^2 = f(a^2) 得 f(a)/(1+(f(a))^2) = a/(1+a^2)
即 a (f(a))^2 - (1+a^2) f(a) + a = 0
( f(a) - a )( af(a) - 1 ) = 0 得 f(a) = a or 1/a 對所有正數 a
7. 接下來只要證明若存在 a, b 非 1 且 f(a) = a, f(b) = 1/b
則和 (5) 式會產生矛盾 [ f(ab) 不能等於 ab 也不能等於 1/ab ]
即可. 如此必是 f(x) = x 對所有正數 x 或 f(x) = 1/x 對所有正數 x
然後代回原式驗證兩者都是解
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※ 編輯: JGU 來自: 61.62.136.247 (07/17 23:25)