※ 引述《pikahacker (Beat Cal)》之銘言： : Start with a row containing all positive integers. Then delete every mth : column. Then replace the remaining entries by partial sums. Delete every : (m-1)st column. Then replace with partial sums again, and so on. Show that : the final result is a sequence of mth powers. : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 : 1 3 6 10 16 23 31 40 51 63 76 90 : 1 4 10 26 49 80 131 194 270 : 1 5 31 80 211 405 : 1 32 243 對任意正整數w, 設袋子A中有w種顏色的球各無限多個, 且其中一種是白球, 沒有黑球, 則定義 D(w,x,y,z)=所有排序的m個球中, 滿足下列三個條件的可能數 1. 從A袋中拿m-z個球, 另外再拿z個黑球來排列 2. 其中白球和黑球以外的球不多於x個 3. 每一個黑球前面至少有y個白球 那麼討論可得 D(w,1,m-z-1,z)=wm+z+1 D(w,x,y,z)=D(w,x-1,y+1,z)+D(w,x,y+1,z-1) if x+y+z=m D(w,x,y,0)=D(w,x-1,y+1,0)+D(w-1,x,0,m-x) if x+y=m D(w,m,0,0)=w^m 於是用D()和上面的數列對應即得證 例如上面的 6 7 16 23 26 49 中, 6=D(2,1,4,0), 7=D(2,1,3,1), 16=D(2,2,3,0), 23=D(2,2,2,1), 26=D(2,3,2,0), 49=D(2,3,1,1) 其實我一開始是用類似生成函數的樣子想的, 不知道那樣是不是想起來比較方便一點 不過用生成函數的model很難描述... --

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