作者LimSinE (r=e^theta)
看板IMO_Taiwan
標題[問題] 提供一道「類競賽題」的題目
時間Tue Jan 4 18:43:20 2005
可能有見多識廣的強者看過這一題，或是沒看過但是能秒殺。
總之，請不吝賜教。這是別人問我的。
n為自然數，設有A(n;x1,x2,..,xn)種方法將1,2,3...,n，排成樓梯形，
每列各有x1,x2,...,xn個
即滿足 x1>=x2>=...>=xn>=0，x1+x2+...+xn=n ---(*)
條件是右邊的數比左面大，下面的數比上面大。
試證對所有n，Sigma((*)) A(n;x1,x2,...,xn)^2 = n!
以n=4為例：
x1=4，x2=x3=x4=0，只有1 2 3 4 一種排法，所以A(4;4,0,0,0)=1
x1=3、x2=1，x3=x4=0，有 1 2 3、1 3 4、2 3 4 三種排法故A(4;3,1,0,0)=3
4 2 3
x1=2、x2=2，x3=x4=0，有 1 2、1 3 兩種排法，故A(4;2,2,0,0)=2
3 4 2 4
x1=2、x2=1、x3=1，x4=0，有 1 2、1 3、1 4 三種排法，故A(4;2,1,1,0)=3
3 2 2
4 4 3
x1=x2=x3=x4=1，只有1 一種排法，故A(4;1,1,1,1)=1
2
3
4
然後結論是 1^2 + 3^2 + 2^2 + 3^2 + 1^2 = 24 = 4!
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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。
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