作者darkseer (進入無限期公假)
看板IMO_Taiwan
標題Re: [問題] 兩個變數的不等式
時間Wed Nov 3 18:09:10 2004
※ 引述《hiei81 (寶貝。永遠)》之銘言：
: ※ 引述《darkseer (進入無限期公假)》之銘言：
: : Source:Mathlink
: : Let a,b be arbitrary positive reals. Show that
: : 1 1 1
: : ----------- + ----------- >= ------------
: : 1+a+a^2+a^3 1+b+b^2+b^3 1+(ab)^(3/2)
: : How can an inequality with only two variables be so hard?
: : It costs me more than two hours...
: 交差相乘
: 原式<=> (1+a+a^2+a^3)(1+b+b^2+b^3) <= (1+(ab)^(3/2))(2+a+b+a^2+b^2+a^3+b^3)
: Let a=c^2, b=d^2 注意1+(ab)^(3/2)=1+(cd)^3 >= (1+(cd)+(cd)^2+(cd)^3)/2
: 故現證(1+c^2+c^4+c^6)(1+d^2+d^4+d^6) <=
: c^2+d^2 c^4+d^4 c^6+d^6
: (1+cd+(cd)^2+(cd)^3)(1+-------+-------+-------)
: 2 2 2
: 之後分項解決即可
: c^2k*d^2k <= (cd)^k*(c^2k+d^2k)/2 (因c^k*d^k <= (c^2k+d^2k)/2)
: c^2k*d^2m+c^2m*d^2k <= (cd)^k*(c^2m+d^2m)/2 + (cd)^m*(c^2k+d^2k)/2
這一步在k=0 or m=0時會怪怪的
: 這個證法可以推廣到3為任意正整數
不知道我有沒有搞錯, 但是在用1+(cd)^3>=(1+cd+(cd)^2+(cd)^3)/2 時
就等於把原題變成
1 1 2
----------- + ----------- >= --------------------------
1+a+a^2+a^3 1+b+b^2+b^3 1+(ab)^(1/2)+ab+(ab)^(3/2)
等價於要去證說
1
f(x)=------------------- 是concave up, 但這不可能成立, 因
1+e^x+e^(2x)+e^(3x)
f(x) is strictly decreasing and
lim f(x) = 1
(x-> -infinty)
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