作者hiei81 (寶貝。永遠)
看板IMO_Taiwan
標題Re: [問題] 兩個變數的不等式
時間Wed Nov 3 13:48:54 2004
※ 引述《darkseer (進入無限期公假)》之銘言：
: Source:Mathlink
: Let a,b be arbitrary positive reals. Show that
: 1 1 1
: ----------- + ----------- >= ------------
: 1+a+a^2+a^3 1+b+b^2+b^3 1+(ab)^(3/2)
: How can an inequality with only two variables be so hard?
: It costs me more than two hours...
交差相乘
原式<=> (1+a+a^2+a^3)(1+b+b^2+b^3) <= (1+(ab)^(3/2))(2+a+b+a^2+b^2+a^3+b^3)
Let a=c^2, b=d^2 注意1+(ab)^(3/2)=1+(cd)^3 >= (1+(cd)+(cd)^2+(cd)^3)/2
故現證(1+c^2+c^4+c^6)(1+d^2+d^4+d^6) <=
c^2+d^2 c^4+d^4 c^6+d^6
(1+cd+(cd)^2+(cd)^3)(1+-------+-------+-------)
2 2 2
之後分項解決即可
c^2k*d^2k <= (cd)^k*(c^2k+d^2k)/2 (因c^k*d^k <= (c^2k+d^2k)/2)
c^2k*d^2m+c^2m*d^2k <= (cd)^k*(c^2m+d^2m)/2 + (cd)^m*(c^2k+d^2k)/2
這個證法可以推廣到3為任意正整數
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總在最平凡的面孔中，
發現最不平凡的人物...
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◆ From: 24.215.219.96