原文恕刪‥ 先來談談 身為一個好的數學老師，應當具備的四大類知識: CK(content knowledge) 數學內容的知識 PCK(pedagogical content knowledge) 教數學的知識 PK(pedagogical knowledge) 教學的知識 KSC(knowledge of student cognition) 了解學生認知與學生學習的知識 對家教而言，PK相對重要性不像帶一整班時重要，我暫把它納入PCK中討論 也就是把數學教師應具備的知識，分成CK、PCK、KSC三大類 以下，簡介一下三大類數學教師應具備的知識: (臨時列的，也許有所遺漏，或分類不夠好‥請見諒，或幫忙補充) CK 教師的數學知識 1 中學課程中的數學知識: 包含:事實性知識、概念性知識、程序性知識的理解與後設認知 (這當然是最基本的第一步) 2 對中學數學知識初等應用的了解: 即會解中學範圍各類相關數學問題的能力 (這是一般人最在意的) 3 對中學數學知識概念的水平連結 不同單元概念之間的連結、一題多題等 4 對整體教材單元內容與例題習題的了解與熟悉 4 對數學邏輯結構與層次的了解 例如:公理系統的意義，又什麼是公理設準，什麼是定義，又什麼是未定義項? 又例如:數學歸納法是演繹法，不是歸納法，那它的邏輯基礎是什麼呢? 5 對數學方法論的了解:證明的功、意義與重要性 例如:了解證明之核證，說明，溝通，系統化，連結等功能 了解證明是數學發展與研究的核心 6 大學數學的學習與中學數學之垂直連結，也就是具有高觀點 (對數學知識的"結構"性理解，才是一個人數學能力成長與未來學習能力的關鍵) 又如:大數學家F.Klein所說的高觀點，對數學教師的意義與重要性 就好比站在山上，你才有機會一眼望盡山下曲折道路與景色的全貌 7 對數學哲學、相關數學史、數學社會文化脈絡的理解 還有教師的數學信念與態度這也是重要的一個面向 (這當然也是教師該懂的，而且，學生該了解的重要部份， 可惜一般考試並不考，多數教師也不注重) 一個教師對數學哲學與數學發展史沒有初步的了解，常常數學觀是偏差的‥ 或對數學這個學科本身不是真的了解 PCK 教師如何教數學的知識 1 如何清楚地幫助學生理解一個數學概念 2 如果引好的例子，幫助學生了解數學概念與相關應用 3 如何透過不同的表徵，幫助生理解一個概念 4 如何教一個數學問題(不只是解題給學生看，而是引導學生思考、學習解題) 5 怎樣解題的知識(不是非基本、簡單的數學問題) (這方面，波利亞與Schoenfeld等人有很多文獻可參考) 6 了解數學概念的發展，利用文獻或史料，來幫助學生學習數學概念 (比如教如何直式開方，一般教師可能就是教學生背下來怎麼開方 但其實可以利用圖形，讓數學了解原理，更直觀地理解這個方法) 7 面對不同社會背景、不同文化、不同情意與態度的學生，如何幫助他們學習數學 例如:有些學生，某些基本的數學概念學不好，原因出於其生長的社會或文化 例如有的民族的母語中的數字，是一，二，三，四，五，很多 他們當然很難學習"大數"的概念與位值的概念 8 何利用電腦或其它教具，來幫助學生學習數學 9 如何透過各種評量方法與工具，來幫助學生學習數學 10 當然，對數學教育重要理論的了解，更是不可或缺 例如:Sfard提出的: 數學概念的"操作運算"和"結構物件"二個面向 和學習數學概念的，內化→壓縮→物化歷程 Van Hiele的幾何思維發展，與後繼相關理論 David Tall提出，學習數學概念的APOS歷程 都是帶給數學教學上重要的啟示，也是告訴我們，數學概念該如何教 以及我們一般人或數學家，是如何學習一個數學概念 其它一般性教學的知識，在此暫不討論，相信翻過書或上過課的人，都學過 當然這也是很重要的一環(口語、板書、表達、經營、學習心理學等等) KSC 現在教育思潮中，學生是站在主動參與學習的角色，學生反而是主角 不是以往看老師表演的方式，也就是教與學是不可分割的一體二面 教師的教與學生的學，同等重要 1 教師應該了解，學生當下懂了些什麼(這是所有教學的起點) 2 學生如何學習一個數學概念 3 學生當前具有那些迷失(錯誤)概念?應如何補救 4 了解學生當下的情意或態度，如何往正面提昇 5 學生對數學的信念與價值，教師如何引導成正確或正面的方向 6 從歷史與研究的文獻了解 哪一些數學概念是多數學生有問題的，又為什麼會產生這樣的因難或問題 如何，幫助學生克服或解決這些問題? (比如:康熙或過去清朝中國數學家們對未知數的疑惑，這也是國中生常有的問題) 中學生與小學生對"="號的迷失，視其為運算(等號右邊要算出一個結果) 不了解等號代表的"平衡"性，便無法了解方程式 16~17世紀，許多大數學家仍不了解負數的概念，何況是第一次學的學生 無理數、負數、零、複數曾經在數學發展上帶給數學家的困擾 常常也是學生概念產生問題的部份。 又或者過去數學家或研究中所顯示，許多人對機率與一些統計概念上的迷失 諸如此類，這有非常多例子，列不完‥‥ 都是數學教師應了解的 7 從研究結果中，了解學生思維或認知的層次 從學生不同的回應，或從學生解題過程中發生的問題，判斷學生所在的層次 進而幫助學生提升 當然，還有一些沒有放進去分類(有的怕太辛辣XD) 要成為一個真正「好的」數學教師上述缺一不可 (注意:是必要，非充份，對數學有自信的人，應該了解吧) 可惜，部份教師，只具備尚可或不錯的CK，其它面向，通常都不了解或不太在意。 許多人是大學數學沒學好的(混過的)，只停留在中學層面的數學知識 或是很會解題，對高中數學題目很熟 但這上述的人，未必真的懂高中數學 特別是一些抽象的數學概念的意義與上下之連結 當然如果只求解題快，只求短暫的分數高，那也沒必要討論了 許多考得很好很會解題的人，他的概念心象與數學家真正的概念定義是差很遠的 就像函數"連續"這個概念的定義與意義，相信許多數學家教自己都不清楚了 當然或許教出來的學生會解題，卻充滿錯誤的概念心像(請參見Tall的研究‥) 有一人雖然成功地解題了，但是他概念心像卻有問題， 教出來的學生或許考試能考得不錯 但也只是學了很多方法，技巧，或是公式，法則(透過工具性理解而非關係性理解) 對於數學概念卻不甚了解，更沒辦法了解數學知識的結構性 除了非有意義的學習對於未來的學習而言，反而是一種傷害 (慚愧:我過去也曾是這樣的教師‥) 高三下就在大補習班解題(高一到高三第一志願複習班) 也在學校圖書館，放學後幫同學解數學題 還因當時解題詳解超快，而超紅 當時，一直自以為數學多熟多好，自得意滿 後來，慢慢地才發現，我的數學概念竟是充滿了錯誤 記了很多題型與解法，但是概念結構充滿問題‥ 學新的東西自然也會產生問題 這也才了解自己原來一點也不了解數學，了解自己的缺點 又好比很多人會說:"我的學生很笨，不用功，連某某簡單的概念都學不會" 但很抱歉，常常這個老師個人的問題 因為許多國際研究就已經告訴我們，這些概念是世界普遍性多數學生都有問題的 常常連在那些環節學生產生問題 為什麼會產生這個問題都有研究報告， 也給予教學上的建議與指引，建議該如何改善，來幫助學生 而身為數學教師，沒有花時間了解這些基本而重要的研究結果 因而，自己也犯了研究中指出教師們常犯的錯誤或教學上的問題 這樣是教師不好還是學生不好呢? 以上，給大家反思一下 也許，你覺得學歷不重要，會解題中學問題就好 但是，對於成為一個"好的數學教師而言"，你做好準備了嗎 你已經具備上述的多少點呢? 你了解大學數學知識?，能否從高觀點了解中學數學知識的全貌 進而幫助學生更完整而結構地學習呢? 你真的懂，並能說清楚每一個數學概念嗎? 比如:基本的級數收斂，重複組合，函數，信賴區間等概念 你真的講得清楚嗎?還是只是要學生會解題，背背公式，應付考試呢? 比如:你真的了解什麼是實數嗎?或者你了解這些數的發展史嗎 不敢說自己是好的數學教師， 懂的還很少，而該學的還很多，永遠也學不完 只能盡量保持終身學習的態度，豐富自己的數學面向與各方面的知識 自然，有一天，是你選擇家教學生，而不是家長選你。 共勉之。 --

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