原文恕删‥ 先来谈谈 身为一个好的数学老师，应当具备的四大类知识: CK(content knowledge) 数学内容的知识 PCK(pedagogical content knowledge) 教数学的知识 PK(pedagogical knowledge) 教学的知识 KSC(knowledge of student cognition) 了解学生认知与学生学习的知识 对家教而言，PK相对重要性不像带一整班时重要，我暂把它纳入PCK中讨论 也就是把数学教师应具备的知识，分成CK、PCK、KSC三大类 以下，简介一下三大类数学教师应具备的知识: (临时列的，也许有所遗漏，或分类不够好‥请见谅，或帮忙补充) CK 教师的数学知识 1 中学课程中的数学知识: 包含:事实性知识、概念性知识、程序性知识的理解与後设认知 (这当然是最基本的第一步) 2 对中学数学知识初等应用的了解: 即会解中学范围各类相关数学问题的能力 (这是一般人最在意的) 3 对中学数学知识概念的水平连结 不同单元概念之间的连结、一题多题等 4 对整体教材单元内容与例题习题的了解与熟悉 4 对数学逻辑结构与层次的了解 例如:公理系统的意义，又什麽是公理设准，什麽是定义，又什麽是未定义项? 又例如:数学归纳法是演绎法，不是归纳法，那它的逻辑基础是什麽呢? 5 对数学方法论的了解:证明的功、意义与重要性 例如:了解证明之核证，说明，沟通，系统化，连结等功能 了解证明是数学发展与研究的核心 6 大学数学的学习与中学数学之垂直连结，也就是具有高观点 (对数学知识的"结构"性理解，才是一个人数学能力成长与未来学习能力的关键) 又如:大数学家F.Klein所说的高观点，对数学教师的意义与重要性 就好比站在山上，你才有机会一眼望尽山下曲折道路与景色的全貌 7 对数学哲学、相关数学史、数学社会文化脉络的理解 还有教师的数学信念与态度这也是重要的一个面向 (这当然也是教师该懂的，而且，学生该了解的重要部份， 可惜一般考试并不考，多数教师也不注重) 一个教师对数学哲学与数学发展史没有初步的了解，常常数学观是偏差的‥ 或对数学这个学科本身不是真的了解 PCK 教师如何教数学的知识 1 如何清楚地帮助学生理解一个数学概念 2 如果引好的例子，帮助学生了解数学概念与相关应用 3 如何透过不同的表徵，帮助生理解一个概念 4 如何教一个数学问题(不只是解题给学生看，而是引导学生思考、学习解题) 5 怎样解题的知识(不是非基本、简单的数学问题) (这方面，波利亚与Schoenfeld等人有很多文献可参考) 6 了解数学概念的发展，利用文献或史料，来帮助学生学习数学概念 (比如教如何直式开方，一般教师可能就是教学生背下来怎麽开方 但其实可以利用图形，让数学了解原理，更直观地理解这个方法) 7 面对不同社会背景、不同文化、不同情意与态度的学生，如何帮助他们学习数学 例如:有些学生，某些基本的数学概念学不好，原因出於其生长的社会或文化 例如有的民族的母语中的数字，是一，二，三，四，五，很多 他们当然很难学习"大数"的概念与位值的概念 8 何利用电脑或其它教具，来帮助学生学习数学 9 如何透过各种评量方法与工具，来帮助学生学习数学 10 当然，对数学教育重要理论的了解，更是不可或缺 例如:Sfard提出的: 数学概念的"操作运算"和"结构物件"二个面向 和学习数学概念的，内化→压缩→物化历程 Van Hiele的几何思维发展，与後继相关理论 David Tall提出，学习数学概念的APOS历程 都是带给数学教学上重要的启示，也是告诉我们，数学概念该如何教 以及我们一般人或数学家，是如何学习一个数学概念 其它一般性教学的知识，在此暂不讨论，相信翻过书或上过课的人，都学过 当然这也是很重要的一环(口语、板书、表达、经营、学习心理学等等) KSC 现在教育思潮中，学生是站在主动参与学习的角色，学生反而是主角 不是以往看老师表演的方式，也就是教与学是不可分割的一体二面 教师的教与学生的学，同等重要 1 教师应该了解，学生当下懂了些什麽(这是所有教学的起点) 2 学生如何学习一个数学概念 3 学生当前具有那些迷失(错误)概念?应如何补救 4 了解学生当下的情意或态度，如何往正面提昇 5 学生对数学的信念与价值，教师如何引导成正确或正面的方向 6 从历史与研究的文献了解 哪一些数学概念是多数学生有问题的，又为什麽会产生这样的因难或问题 如何，帮助学生克服或解决这些问题? (比如:康熙或过去清朝中国数学家们对未知数的疑惑，这也是国中生常有的问题) 中学生与小学生对"="号的迷失，视其为运算(等号右边要算出一个结果) 不了解等号代表的"平衡"性，便无法了解方程式 16~17世纪，许多大数学家仍不了解负数的概念，何况是第一次学的学生 无理数、负数、零、复数曾经在数学发展上带给数学家的困扰 常常也是学生概念产生问题的部份。 又或者过去数学家或研究中所显示，许多人对机率与一些统计概念上的迷失 诸如此类，这有非常多例子，列不完‥‥ 都是数学教师应了解的 7 从研究结果中，了解学生思维或认知的层次 从学生不同的回应，或从学生解题过程中发生的问题，判断学生所在的层次 进而帮助学生提升 当然，还有一些没有放进去分类(有的怕太辛辣XD) 要成为一个真正「好的」数学教师上述缺一不可 (注意:是必要，非充份，对数学有自信的人，应该了解吧) 可惜，部份教师，只具备尚可或不错的CK，其它面向，通常都不了解或不太在意。 许多人是大学数学没学好的(混过的)，只停留在中学层面的数学知识 或是很会解题，对高中数学题目很熟 但这上述的人，未必真的懂高中数学 特别是一些抽象的数学概念的意义与上下之连结 当然如果只求解题快，只求短暂的分数高，那也没必要讨论了 许多考得很好很会解题的人，他的概念心象与数学家真正的概念定义是差很远的 就像函数"连续"这个概念的定义与意义，相信许多数学家教自己都不清楚了 当然或许教出来的学生会解题，却充满错误的概念心像(请参见Tall的研究‥) 有一人虽然成功地解题了，但是他概念心像却有问题， 教出来的学生或许考试能考得不错 但也只是学了很多方法，技巧，或是公式，法则(透过工具性理解而非关系性理解) 对於数学概念却不甚了解，更没办法了解数学知识的结构性 除了非有意义的学习对於未来的学习而言，反而是一种伤害 (惭愧:我过去也曾是这样的教师‥) 高三下就在大补习班解题(高一到高三第一志愿复习班) 也在学校图书馆，放学後帮同学解数学题 还因当时解题详解超快，而超红 当时，一直自以为数学多熟多好，自得意满 後来，慢慢地才发现，我的数学概念竟是充满了错误 记了很多题型与解法，但是概念结构充满问题‥ 学新的东西自然也会产生问题 这也才了解自己原来一点也不了解数学，了解自己的缺点 又好比很多人会说:"我的学生很笨，不用功，连某某简单的概念都学不会" 但很抱歉，常常这个老师个人的问题 因为许多国际研究就已经告诉我们，这些概念是世界普遍性多数学生都有问题的 常常连在那些环节学生产生问题 为什麽会产生这个问题都有研究报告， 也给予教学上的建议与指引，建议该如何改善，来帮助学生 而身为数学教师，没有花时间了解这些基本而重要的研究结果 因而，自己也犯了研究中指出教师们常犯的错误或教学上的问题 这样是教师不好还是学生不好呢? 以上，给大家反思一下 也许，你觉得学历不重要，会解题中学问题就好 但是，对於成为一个"好的数学教师而言"，你做好准备了吗 你已经具备上述的多少点呢? 你了解大学数学知识?，能否从高观点了解中学数学知识的全貌 进而帮助学生更完整而结构地学习呢? 你真的懂，并能说清楚每一个数学概念吗? 比如:基本的级数收敛，重复组合，函数，信赖区间等概念 你真的讲得清楚吗?还是只是要学生会解题，背背公式，应付考试呢? 比如:你真的了解什麽是实数吗?或者你了解这些数的发展史吗 不敢说自己是好的数学教师， 懂的还很少，而该学的还很多，永远也学不完 只能尽量保持终身学习的态度，丰富自己的数学面向与各方面的知识 自然，有一天，是你选择家教学生，而不是家长选你。 共勉之。 --

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