※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言： : : 那第三個問題點就是數學的比方。我不懂超過高中課本範圍以外的數學 : : ，也沒有要對數學的問題做什麼大文章的意思。我借用維根斯坦在劍橋大學 : : 關於《數學的基礎》的講課。他的目的是要說明數學也是一種人文學科，不 : : 像當時代（或許現在還是）很多人認為的是自然科學、硬科學或是真科學。 : 1、非標準實數系其實是講無限大也可以拿來運算。 : 2、笛卡爾積的定義： : 　　 令 A B 為兩個集合，則 : AXB = { (a b) | a belongs to A, b belongs to B } : 除 1 2 之外，其他關於加法以及無窮級數的知識應該屬於高中數學的範圍。 : 另外，學長所分享的關於維根斯坦肯認數學也是一種人文學科的立場，使我十分欣喜 : ，真是一件美事。不知學長有無進一步看法？特別是： : 如果肯認數學作為一種人文學科，那它和法律的關係是什麼？ : (真不知道維根斯坦會怎麼說...) 維根斯坦沒有特別針對法律的問題發表看法。就之前提到那個科學的一元 、二元或多元性的問題來講，他也始終沒明說。不過他的遺稿繼承人Gertrude Elizabeth M. Anscombe認為維根斯坦是「語言觀念論」，就是說他還是認為 語言這個東西最後是一個不可化約的觀念性（而非實在的）存在。 但是維根斯坦對規範性的問題所提出的看法是被哈特相當完整地繼承下來 。甚至有時候我會覺得哈特好像是把維根斯坦的例子改寫成法律的例子，然後 寫成法律的概念那本書。 XD 簡單地說，他分成三種情況討論規範性。亦即 「你必須如何如何」或「你不能如何如何」這時候表達的是什麼意思。 1. 物理上的「需要」，希臘文說deon（缺少）的意思（我們後來所知道的本 務論deontology就這裡來的）。比方說，鸛鳥請狐狸吃飯那個寓言，狐狸 「必須有雙筷子」或「必須有副餐具」才能把食物從瓶子裡挖出來。這時 候表達的「不能」就像是「你不能挾泰山以超北海」、「你不能游泳穿過 大西洋」。 2. 命令型。這種我們就都很熟悉了。然而這裡有個值得注意的事情是命令型 是不能獨立存在的句型。「你必須準時去上學」，如果沒有「不然我就把 你怎樣」的話，這句子是不完整的，會變成沒有道理的命令。這裡不是要 講惡法亦法之類的問題，也不是立法與執行的落差等等。只是要凸顯這一 類的誡命或禁令是兩段式的語句，一段包括要求的標的，另一段是不能遵 守這個要求的後果。 3. 「文法」型。這個是他的招牌範例。很多人可能都聽過維根斯坦說語言遊 戲語言遊戲的。他就會拿下棋打比方。我們把西洋棋的例子換成象棋也是 一樣，反正是差不多的遊戲。例如馬要走日字格、拐馬腳的狀況就不能前 進，這是遊戲的規則。至於下棋的人不遵守的話會怎麼樣？這時候規則的 違反並不會導致第二種情況下的後果。除非下棋的人另外約定了「如果你 拐馬腳的時候還是硬要跳的話，屁股要挨十下棍子」。但違反了「你不得 在拐馬腳的狀況下讓馬往前跳」這個規則，等於棋就下不下去了。或者我 們也可以說，這可能是在下其他的棋，但不是我們所知道的象棋。那這是 成規式的例子，也就是下棋、運動這一類人為的遊戲。 拿語言來當例子的話，就好像說「我要去吃飯」是否定句一樣。無論是講 英文或講德文，維根斯坦要講否定句一定要用一個否定詞。沒有這個否定 詞的話，大家就不會把這個句子當成否定句。在這個觀點之下他也認為數 學的性質和語言相近。當然，他另一個出名的特色就是不會舉需要特殊專 業背景知識的例子，而是拿小學生、幼稚園會碰到的事情來當例子。 我們可以用另一個方式來表達這一類的規範性特色：在第一種情況中，「 必須」或「不能」的相反，就是現實上做不到。第二種情況，是發生那個 制裁的結果，或者我們可以說是發生「違法」或「不法」的狀況。第三種 情況，沒有相反的情況存在；「馬必須跳日字格」，不這樣跳，要不那個 棋子不是馬，要不那不是在下象棋。亦即違反規則的情況會發生，但這時 候效果是違反的情況被排除在整個系統之外。在這個意義下，違反文法規 則（例如不用否定詞來表達否定句）的結果，如果還是要從系統內部來了 解，那這是一個肯定句；要不，這句話不是這個語言裡的否定句。亦即， 意義的反面，並不是反意義、或錯誤的意義，而是無意義。 有沒有突然覺得承認規則很像是這種東西？有沒有突然覺得哈特對命令論 的批評、以及gunman situation好像是第二種情況跟第三種情況之間不斷地比 較？ XD : 當然，除了符號系統的規約外，其他數學的規約總是可以被探討與質疑的，如為何 0 : 不能當除數，為何四則運算要先乘除後加減等等，基本上都可以在數學系統內被合理 : 解答。 : Morris Kline 有本有名的書 << 新數學為何會失敗　－ 為什麼約翰不會加法 >> : 探討了美國 20 世紀 60 年代新數學的弊病，第一個被提出來的現象就是： : 老師問 8 歲的小約翰 7 + 5 等於多少，小約翰答 12，老師說這個答案不好，因為 : 12 只是一個符號，應該說 7 是指有個集合 A ，其元素個數叫 7，5 是指有個集合 : B ，其元素個數叫 5 ，A 和 B 沒有共同的元素，那麼 7 + 5 就是指有個集合 : C = 集合 A 和集合 B 的聯集，其元素個數叫 7 + 5。 : 那麼 7 + 5 = 12？ How is it possible？ : 佳佳 其實我也不是維根斯坦專家，我也沒進過精武體育會，維根斯坦拿數學來 討論這件事情，或許他的批評最後是不成功的，也說不定。我是沒有能力判斷 究竟數學家是否已經把維根斯坦覺得有洞的地方補起來了，又或許他們根本不 覺得那是個洞。 不過他如果不面對數學這個問題，棘手的事情倒不是數學家會來打他屁股 ，而是他將難以挑戰康德哲學這個巨大的對手。我也不是康德專家啦。冤有頭 債有主，推你的文的那個黑爾（Herr）「如何可能」才是啦。應該請他來解說 康德在純粹理性批判裡面是如何愛用數學的例子。我只知道他用了很多很多。 而如果維根斯坦不處理康德哲學的問題，他的畢生心血大概就毀了八成。 -- 狄馬喬即使被三振了， 也是很好看的。 --Ted Williams --

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