※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之铭言： : : 那第三个问题点就是数学的比方。我不懂超过高中课本范围以外的数学 : : ，也没有要对数学的问题做什麽大文章的意思。我借用维根斯坦在剑桥大学 : : 关於《数学的基础》的讲课。他的目的是要说明数学也是一种人文学科，不 : : 像当时代（或许现在还是）很多人认为的是自然科学、硬科学或是真科学。 : 1、非标准实数系其实是讲无限大也可以拿来运算。 : 2、笛卡尔积的定义： : 　　 令 A B 为两个集合，则 : AXB = { (a b) | a belongs to A, b belongs to B } : 除 1 2 之外，其他关於加法以及无穷级数的知识应该属於高中数学的范围。 : 另外，学长所分享的关於维根斯坦肯认数学也是一种人文学科的立场，使我十分欣喜 : ，真是一件美事。不知学长有无进一步看法？特别是： : 如果肯认数学作为一种人文学科，那它和法律的关系是什麽？ : (真不知道维根斯坦会怎麽说...) 维根斯坦没有特别针对法律的问题发表看法。就之前提到那个科学的一元 、二元或多元性的问题来讲，他也始终没明说。不过他的遗稿继承人Gertrude Elizabeth M. Anscombe认为维根斯坦是「语言观念论」，就是说他还是认为 语言这个东西最後是一个不可化约的观念性（而非实在的）存在。 但是维根斯坦对规范性的问题所提出的看法是被哈特相当完整地继承下来 。甚至有时候我会觉得哈特好像是把维根斯坦的例子改写成法律的例子，然後 写成法律的概念那本书。 XD 简单地说，他分成三种情况讨论规范性。亦即 「你必须如何如何」或「你不能如何如何」这时候表达的是什麽意思。 1. 物理上的「需要」，希腊文说deon（缺少）的意思（我们後来所知道的本 务论deontology就这里来的）。比方说，鹳鸟请狐狸吃饭那个寓言，狐狸 「必须有双筷子」或「必须有副餐具」才能把食物从瓶子里挖出来。这时 候表达的「不能」就像是「你不能挟泰山以超北海」、「你不能游泳穿过 大西洋」。 2. 命令型。这种我们就都很熟悉了。然而这里有个值得注意的事情是命令型 是不能独立存在的句型。「你必须准时去上学」，如果没有「不然我就把 你怎样」的话，这句子是不完整的，会变成没有道理的命令。这里不是要 讲恶法亦法之类的问题，也不是立法与执行的落差等等。只是要凸显这一 类的诫命或禁令是两段式的语句，一段包括要求的标的，另一段是不能遵 守这个要求的後果。 3. 「文法」型。这个是他的招牌范例。很多人可能都听过维根斯坦说语言游 戏语言游戏的。他就会拿下棋打比方。我们把西洋棋的例子换成象棋也是 一样，反正是差不多的游戏。例如马要走日字格、拐马脚的状况就不能前 进，这是游戏的规则。至於下棋的人不遵守的话会怎麽样？这时候规则的 违反并不会导致第二种情况下的後果。除非下棋的人另外约定了「如果你 拐马脚的时候还是硬要跳的话，屁股要挨十下棍子」。但违反了「你不得 在拐马脚的状况下让马往前跳」这个规则，等於棋就下不下去了。或者我 们也可以说，这可能是在下其他的棋，但不是我们所知道的象棋。那这是 成规式的例子，也就是下棋、运动这一类人为的游戏。 拿语言来当例子的话，就好像说「我要去吃饭」是否定句一样。无论是讲 英文或讲德文，维根斯坦要讲否定句一定要用一个否定词。没有这个否定 词的话，大家就不会把这个句子当成否定句。在这个观点之下他也认为数 学的性质和语言相近。当然，他另一个出名的特色就是不会举需要特殊专 业背景知识的例子，而是拿小学生、幼稚园会碰到的事情来当例子。 我们可以用另一个方式来表达这一类的规范性特色：在第一种情况中，「 必须」或「不能」的相反，就是现实上做不到。第二种情况，是发生那个 制裁的结果，或者我们可以说是发生「违法」或「不法」的状况。第三种 情况，没有相反的情况存在；「马必须跳日字格」，不这样跳，要不那个 棋子不是马，要不那不是在下象棋。亦即违反规则的情况会发生，但这时 候效果是违反的情况被排除在整个系统之外。在这个意义下，违反文法规 则（例如不用否定词来表达否定句）的结果，如果还是要从系统内部来了 解，那这是一个肯定句；要不，这句话不是这个语言里的否定句。亦即， 意义的反面，并不是反意义、或错误的意义，而是无意义。 有没有突然觉得承认规则很像是这种东西？有没有突然觉得哈特对命令论 的批评、以及gunman situation好像是第二种情况跟第三种情况之间不断地比 较？ XD : 当然，除了符号系统的规约外，其他数学的规约总是可以被探讨与质疑的，如为何 0 : 不能当除数，为何四则运算要先乘除後加减等等，基本上都可以在数学系统内被合理 : 解答。 : Morris Kline 有本有名的书 << 新数学为何会失败　－ 为什麽约翰不会加法 >> : 探讨了美国 20 世纪 60 年代新数学的弊病，第一个被提出来的现象就是： : 老师问 8 岁的小约翰 7 + 5 等於多少，小约翰答 12，老师说这个答案不好，因为 : 12 只是一个符号，应该说 7 是指有个集合 A ，其元素个数叫 7，5 是指有个集合 : B ，其元素个数叫 5 ，A 和 B 没有共同的元素，那麽 7 + 5 就是指有个集合 : C = 集合 A 和集合 B 的联集，其元素个数叫 7 + 5。 : 那麽 7 + 5 = 12？ How is it possible？ : 佳佳 其实我也不是维根斯坦专家，我也没进过精武体育会，维根斯坦拿数学来 讨论这件事情，或许他的批评最後是不成功的，也说不定。我是没有能力判断 究竟数学家是否已经把维根斯坦觉得有洞的地方补起来了，又或许他们根本不 觉得那是个洞。 不过他如果不面对数学这个问题，棘手的事情倒不是数学家会来打他屁股 ，而是他将难以挑战康德哲学这个巨大的对手。我也不是康德专家啦。冤有头 债有主，推你的文的那个黑尔（Herr）「如何可能」才是啦。应该请他来解说 康德在纯粹理性批判里面是如何爱用数学的例子。我只知道他用了很多很多。 而如果维根斯坦不处理康德哲学的问题，他的毕生心血大概就毁了八成。 -- 狄马乔即使被三振了， 也是很好看的。 --Ted Williams --

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