: 我在這裡想的問題點有三個。 : 第一個是關於涂爾幹那個問題。簡言之是社會或者任何一個團體，是否 : 等於團體成員全部加起來，或是在全體加起來之外，還有一些其他東西。這 : 個問題在Giambattista Vico的名著《新科學》以降，一直到例如韋伯，就 : 是「科學究竟是一個還是兩（或多）個」、「科學方法究竟是一種還是兩（ : 或多）種」。用比較新的辭彙來說，規範性和事實性究竟是一件事還是兩件 : 事、一個層次還是兩個層次。 : 這一類的問題有很多人用很多方法嘗試去回答。其中一個方式是透過邏 : 輯上無法推導這一點來說，例如Hume著名的論斷，認為當為跟存在之間存在 : 著無法跨越的鴻溝。如果這兩個層次之間有這樣的邏輯斷裂，那當然就沒有 : 辦法說這兩個層次是相同的。Hume的論斷雖然還沒有被完全推翻，但是已經 : 被認為有時候說不通，那是另一個問題。 : 稍微跳遠一點，第二個問題點是整體與個別，集體意識與個別成員的意 : 識之間的問題。 : 集體意識牽涉到的東西非常多，如果不要用涂爾幹那個時代、國家與教 : 會之間強烈齟齬的辭彙，像是宗教、曆法這些東西都是具體的集體意識。當 : 然社會學的出現帶有想要對集體性、人群的聚合這些事情提出一套非關傳統 : 、在歐洲的脈絡下也就是無關宗教的答案。法律則是另外一個引起非常大關 : 注的例子。Gibbon的羅馬帝國興亡史，Fustel de Coulanges的古代城邦等 : 等，還有在德意志地區特別興盛的文獻學，這些都是想透過古代留下來的材 : 料去了解古代人集體意識的嘗試。只是沒有用到集體意識這個概念。 : 涂爾幹、或者說當時整個法國社會學派的主流看法用到「集體意識」的 : 時候一個容易造成誤會的點就是「意識」好像有心理學的隱喻、好像存在著 : 「集體」這個意識的主體。不過他們花了不少精神在釐清這件事情。我想涂 : 爾幹另一句說得也容易造成誤解的話表達相同的意思：「把社會事實當成外 : 物（或東西）」。不管是哪些表現集體意識的面向，被當成一個東西的時候 : ，是不能把它化約為小部分的。十字架不是宗教，薰香也不是宗教，但是有 : 個傢伙舉著十字架往某處走，另一個傢伙在那邊薰香，然後很多人擠在一起 : 跟著某個人覆誦一些話，這整套人、物與行為結合的東西，這叫宗教。要用 : 更扁平一點的例子來說，輪胎不是車，方向盤不是車，引擎也不是車，但是 : 可以用方向盤控制輪子，藉由引擎的動力前進後退的這個東西叫做車。 我覺得學長對集體意識的詮釋頗符合涂爾幹原意的，或是說我讀出來的涂爾幹原意。 有待商榷的是數學的比方，我認為涂爾幹關於集體意識的概念，特別是「總和」概念 ，如果採用學長關於數學的類比，會讓人對數學的數、運算及無限大的概念產生某種 誤解，而我只是想澄清這件事而已。 : 那第三個問題點就是數學的比方。我不懂超過高中課本範圍以外的數學 : ，也沒有要對數學的問題做什麼大文章的意思。我借用維根斯坦在劍橋大學 : 關於《數學的基礎》的講課。他的目的是要說明數學也是一種人文學科，不 : 像當時代（或許現在還是）很多人認為的是自然科學、硬科學或是真科學。 1、非標準實數系其實是講無限大也可以拿來運算。 2、笛卡爾積的定義： 　　 令 A B 為兩個集合，則 AXB = { (a b) | a belongs to A, b belongs to B } 除 1 2 之外，其他關於加法以及無窮級數的知識應該屬於高中數學的範圍。 另外，學長所分享的關於維根斯坦肯認數學也是一種人文學科的立場，使我十分欣喜 ，真是一件美事。不知學長有無進一步看法？特別是： 如果肯認數學作為一種人文學科，那它和法律的關係是什麼？ (真不知道維根斯坦會怎麼說...) : 他所要說的算數也不是數學界自己對算數的界定，而是小學生在學校學那種 : 很簡單的東西。他的例子是小孩子在做加法，假定說隨便一個2+3+4+5=?， : 小孩子寫15，老師會告訴他這答案不對，是14。老師要教會孩子的並不是這 : 個簡單的加法有什麼實在的基礎，用維根斯坦的話來說是要教會他數學的「 : 文法」。細節沒辦法在這裡解說了，這是後期維根斯坦的特色，他並不是要 : 說之所以會加到那樣是因為數學有這種規定，好像有一本數學法則一樣一條 : 一條告訴你幾加幾等於多少。而是說數學就跟我們講的語言一樣有一套文法 : （他用的涵義非常廣泛）。小學生那個加法的例子裡面，在他沒有學會無限 : 大這個概念以前，不管數列寫得再長，只要不是點點點，還是會加出一個和 : 來。我想要說的連續或不連續是這個意思。 從 19 世紀末數學界非歐幾何的出現後，關於數學的一切知識已經「不必然」要有 實在 (特別是物理學) 的基礎，甚至 20 世紀初數學基礎 － 集合論遭到許多悖論 (特別是羅素悖論) 的挑戰，及至哥德爾不完備定理的出現，對於數學基礎的辯論 數學界分裂成三個無法整合的學派：邏輯、形式和直覺主義，所以 Morris Kline 寫了 << 數學 － 確定性的失落 >> 這本標題本身就頗聳動的書。 雖然數學仍保留了公理化的演繹系統，同時作為學科的數學不斷分化與細緻化，卻 又呈現某種統一氛圍 (特別是代數、分析與幾何)，但數學不再必然指涉實在，數學 基礎也不再有完全的確定性，但「數學思考」與「數學發現」的歷程卻似乎從來沒有 改變其原初面貌：好奇、探索、猜測、試誤、聯想、特殊化、一般化、分析、歸謬、 演繹、化歸、推廣、挫折、誤證...等等 如學長所講，維根斯坦強調去認知數學的文法，其實不就正是去認知數學思考與數學 發現的歷程？可是，一旦認知了所謂數學的文法，如果去問： 2 + 3 + 4 + 5 = 14 或 15？ 或是 7 + 5 = 12？ 可能會有什麼意義？ 學長分享的維根斯坦並非強調數學的規約，但能由此推論數學的規約是不需要任何基 礎嗎？ 一位學生回答 2 + 3 + 4 + 5 = 14，假若他懂得 2 + 3 + 4 + 5 的數學意義，他是 不知道有 15 這個數學符號？ (既然知道 14，現實上很難不知道 15) 還是他認知到 2 + 3 + 4 + 5 所指涉的數量關係 (所謂 15 的規約意義)，但混淆了 14 和 15 這兩個符號？ 或是他根本認知到的就是 14 的規約意義？ 作為一位數學教育者，應該要去分辨這些可能的情形，如果他認知到的是 14 的規約 意義，能不能說他答案不對？ 假設我們處理的是一般數的四則運算，則 7 + 5 = 12？ 這個問題讓我想到喬治‧歐 威爾的 << 1984 >>，書中主角溫斯頓在日記寫下： 所謂自由，即是能說二加二等於四的自由。 後來，歐布萊恩對他刑求，問他 2 + 2 = ？ 溫斯頓一直堅持 4，歐布萊恩說： 「溫斯頓，有時候等於五，有時候等於三，有時候以上皆是。你得更努力，要變成神 志清醒的人並不是件容易的事。」 從歐布萊恩的推論中，想必去思考甚至否定 7 + 5 = 12 的人是神志清醒的人。 當然，在數學的其他運算系統中 7 + 5 可能「不必寫成」 12，如採 12 進位制時， 　　7 + 5 會寫成 12 進位的 10 。但 7 + 5 與 12 (或 12 進位的 10) 符號的規約意 義是等同的。 以上闡釋了我對數學符號系統的規約的一點想法。 當然，除了符號系統的規約外，其他數學的規約總是可以被探討與質疑的，如為何 0 不能當除數，為何四則運算要先乘除後加減等等，基本上都可以在數學系統內被合理 解答。 Morris Kline 有本有名的書 << 新數學為何會失敗　－ 為什麼約翰不會加法 >> 探討了美國 20 世紀 60 年代新數學的弊病，第一個被提出來的現象就是： 老師問 8 歲的小約翰 7 + 5 等於多少，小約翰答 12，老師說這個答案不好，因為 12 只是一個符號，應該說 7 是指有個集合 A ，其元素個數叫 7，5 是指有個集合 B ，其元素個數叫 5 ，A 和 B 沒有共同的元素，那麼 7 + 5 就是指有個集合 C = 集合 A 和集合 B 的聯集，其元素個數叫 7 + 5。 那麼 7 + 5 = 12？ How is it possible？ 佳佳 --

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