: 我在这里想的问题点有三个。 : 第一个是关於涂尔干那个问题。简言之是社会或者任何一个团体，是否 : 等於团体成员全部加起来，或是在全体加起来之外，还有一些其他东西。这 : 个问题在Giambattista Vico的名着《新科学》以降，一直到例如韦伯，就 : 是「科学究竟是一个还是两（或多）个」、「科学方法究竟是一种还是两（ : 或多）种」。用比较新的辞汇来说，规范性和事实性究竟是一件事还是两件 : 事、一个层次还是两个层次。 : 这一类的问题有很多人用很多方法尝试去回答。其中一个方式是透过逻 : 辑上无法推导这一点来说，例如Hume着名的论断，认为当为跟存在之间存在 : 着无法跨越的鸿沟。如果这两个层次之间有这样的逻辑断裂，那当然就没有 : 办法说这两个层次是相同的。Hume的论断虽然还没有被完全推翻，但是已经 : 被认为有时候说不通，那是另一个问题。 : 稍微跳远一点，第二个问题点是整体与个别，集体意识与个别成员的意 : 识之间的问题。 : 集体意识牵涉到的东西非常多，如果不要用涂尔干那个时代、国家与教 : 会之间强烈龃龉的辞汇，像是宗教、历法这些东西都是具体的集体意识。当 : 然社会学的出现带有想要对集体性、人群的聚合这些事情提出一套非关传统 : 、在欧洲的脉络下也就是无关宗教的答案。法律则是另外一个引起非常大关 : 注的例子。Gibbon的罗马帝国兴亡史，Fustel de Coulanges的古代城邦等 : 等，还有在德意志地区特别兴盛的文献学，这些都是想透过古代留下来的材 : 料去了解古代人集体意识的尝试。只是没有用到集体意识这个概念。 : 涂尔干、或者说当时整个法国社会学派的主流看法用到「集体意识」的 : 时候一个容易造成误会的点就是「意识」好像有心理学的隐喻、好像存在着 : 「集体」这个意识的主体。不过他们花了不少精神在厘清这件事情。我想涂 : 尔干另一句说得也容易造成误解的话表达相同的意思：「把社会事实当成外 : 物（或东西）」。不管是哪些表现集体意识的面向，被当成一个东西的时候 : ，是不能把它化约为小部分的。十字架不是宗教，薰香也不是宗教，但是有 : 个家伙举着十字架往某处走，另一个家伙在那边薰香，然後很多人挤在一起 : 跟着某个人覆诵一些话，这整套人、物与行为结合的东西，这叫宗教。要用 : 更扁平一点的例子来说，轮胎不是车，方向盘不是车，引擎也不是车，但是 : 可以用方向盘控制轮子，藉由引擎的动力前进後退的这个东西叫做车。 我觉得学长对集体意识的诠释颇符合涂尔干原意的，或是说我读出来的涂尔干原意。 有待商榷的是数学的比方，我认为涂尔干关於集体意识的概念，特别是「总和」概念 ，如果采用学长关於数学的类比，会让人对数学的数、运算及无限大的概念产生某种 误解，而我只是想澄清这件事而已。 : 那第三个问题点就是数学的比方。我不懂超过高中课本范围以外的数学 : ，也没有要对数学的问题做什麽大文章的意思。我借用维根斯坦在剑桥大学 : 关於《数学的基础》的讲课。他的目的是要说明数学也是一种人文学科，不 : 像当时代（或许现在还是）很多人认为的是自然科学、硬科学或是真科学。 1、非标准实数系其实是讲无限大也可以拿来运算。 2、笛卡尔积的定义： 　　 令 A B 为两个集合，则 AXB = { (a b) | a belongs to A, b belongs to B } 除 1 2 之外，其他关於加法以及无穷级数的知识应该属於高中数学的范围。 另外，学长所分享的关於维根斯坦肯认数学也是一种人文学科的立场，使我十分欣喜 ，真是一件美事。不知学长有无进一步看法？特别是： 如果肯认数学作为一种人文学科，那它和法律的关系是什麽？ (真不知道维根斯坦会怎麽说...) : 他所要说的算数也不是数学界自己对算数的界定，而是小学生在学校学那种 : 很简单的东西。他的例子是小孩子在做加法，假定说随便一个2+3+4+5=?， : 小孩子写15，老师会告诉他这答案不对，是14。老师要教会孩子的并不是这 : 个简单的加法有什麽实在的基础，用维根斯坦的话来说是要教会他数学的「 : 文法」。细节没办法在这里解说了，这是後期维根斯坦的特色，他并不是要 : 说之所以会加到那样是因为数学有这种规定，好像有一本数学法则一样一条 : 一条告诉你几加几等於多少。而是说数学就跟我们讲的语言一样有一套文法 : （他用的涵义非常广泛）。小学生那个加法的例子里面，在他没有学会无限 : 大这个概念以前，不管数列写得再长，只要不是点点点，还是会加出一个和 : 来。我想要说的连续或不连续是这个意思。 从 19 世纪末数学界非欧几何的出现後，关於数学的一切知识已经「不必然」要有 实在 (特别是物理学) 的基础，甚至 20 世纪初数学基础 － 集合论遭到许多悖论 (特别是罗素悖论) 的挑战，及至哥德尔不完备定理的出现，对於数学基础的辩论 数学界分裂成三个无法整合的学派：逻辑、形式和直觉主义，所以 Morris Kline 写了 << 数学 － 确定性的失落 >> 这本标题本身就颇耸动的书。 虽然数学仍保留了公理化的演绎系统，同时作为学科的数学不断分化与细致化，却 又呈现某种统一氛围 (特别是代数、分析与几何)，但数学不再必然指涉实在，数学 基础也不再有完全的确定性，但「数学思考」与「数学发现」的历程却似乎从来没有 改变其原初面貌：好奇、探索、猜测、试误、联想、特殊化、一般化、分析、归谬、 演绎、化归、推广、挫折、误证...等等 如学长所讲，维根斯坦强调去认知数学的文法，其实不就正是去认知数学思考与数学 发现的历程？可是，一旦认知了所谓数学的文法，如果去问： 2 + 3 + 4 + 5 = 14 或 15？ 或是 7 + 5 = 12？ 可能会有什麽意义？ 学长分享的维根斯坦并非强调数学的规约，但能由此推论数学的规约是不需要任何基 础吗？ 一位学生回答 2 + 3 + 4 + 5 = 14，假若他懂得 2 + 3 + 4 + 5 的数学意义，他是 不知道有 15 这个数学符号？ (既然知道 14，现实上很难不知道 15) 还是他认知到 2 + 3 + 4 + 5 所指涉的数量关系 (所谓 15 的规约意义)，但混淆了 14 和 15 这两个符号？ 或是他根本认知到的就是 14 的规约意义？ 作为一位数学教育者，应该要去分辨这些可能的情形，如果他认知到的是 14 的规约 意义，能不能说他答案不对？ 假设我们处理的是一般数的四则运算，则 7 + 5 = 12？ 这个问题让我想到乔治‧欧 威尔的 << 1984 >>，书中主角温斯顿在日记写下： 所谓自由，即是能说二加二等於四的自由。 後来，欧布莱恩对他刑求，问他 2 + 2 = ？ 温斯顿一直坚持 4，欧布莱恩说： 「温斯顿，有时候等於五，有时候等於三，有时候以上皆是。你得更努力，要变成神 志清醒的人并不是件容易的事。」 从欧布莱恩的推论中，想必去思考甚至否定 7 + 5 = 12 的人是神志清醒的人。 当然，在数学的其他运算系统中 7 + 5 可能「不必写成」 12，如采 12 进位制时， 　　7 + 5 会写成 12 进位的 10 。但 7 + 5 与 12 (或 12 进位的 10) 符号的规约意 义是等同的。 以上阐释了我对数学符号系统的规约的一点想法。 当然，除了符号系统的规约外，其他数学的规约总是可以被探讨与质疑的，如为何 0 不能当除数，为何四则运算要先乘除後加减等等，基本上都可以在数学系统内被合理 解答。 Morris Kline 有本有名的书 << 新数学为何会失败　－ 为什麽约翰不会加法 >> 探讨了美国 20 世纪 60 年代新数学的弊病，第一个被提出来的现象就是： 老师问 8 岁的小约翰 7 + 5 等於多少，小约翰答 12，老师说这个答案不好，因为 12 只是一个符号，应该说 7 是指有个集合 A ，其元素个数叫 7，5 是指有个集合 B ，其元素个数叫 5 ，A 和 B 没有共同的元素，那麽 7 + 5 就是指有个集合 C = 集合 A 和集合 B 的联集，其元素个数叫 7 + 5。 那麽 7 + 5 = 12？ How is it possible？ 佳佳 --

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