作者Qdream (宅男科學家)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] [線代] 對角化及內積空間題目
時間Mon Oct 10 23:08:14 2022
大家好：
寫題目時遇到四題比較有問題的地方，我把題目、答案和我自己的算法整理如下，
希望板友能不吝幫忙，謝謝！
1.
https://imgur.com/a/ZFfphDg
這題放在光譜分解(spectral decomposition)的題目，
我已經有把各個特徵值所對的特徵向量解出來，
但想問eigenspace以及eigenprojection該如何求算呢？
2.
https://imgur.com/a/y6phUc4
B的平方會等於A，則相當於將A開根號，將A對角化之後會得到A=P^(-1)DP，
則A開根號會等於P(D^1/2)P^(-1)，答案只有給一組解，
看起來是對角矩陣D的對角項開根號，雖然開根號結果一定是正，
但不能夠取負的嗎？平方完也一樣會得到對角矩陣D的對角項(例如(-2√2)平方完還是8)。
3.
https://imgur.com/a/X69epLI
這一題我是從選項去計算是否正確，作法如附圖，
不曉得還有沒有比較好的討論法或哪裡要修正呢？
4.
https://imgur.com/a/9mLPpeK
第三個選項我寫成Ax=(xy^T)x，因為(y^T)x為純量，
所以寫成(y^T)xx，可知x為A的一個特徵向量，
第二個選項我湊不出來，看解釋說取x為特徵向量，
但第三個選項x所對的特徵根是(y^Tx)吧？就矛盾了
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1F：→ chang1248w: 1. 對應的eigen vector 直接span，投影的話點積然後 10/11 01:56
2F：→ chang1248w: 歸一化 vv^t/v^tv 10/11 01:56
3F：→ chang1248w: 2 可以是負數/複數，只不過就變成不同東西了 10/11 01:57
4F：→ chang1248w: 理同平方根只會是正的 10/11 01:57
5F：→ chang1248w: 4. 內積可交換啊 10/11 02:02