作者Qdream (宅男科学家)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] [线代] 对角化及内积空间题目
时间Mon Oct 10 23:08:14 2022
大家好：
写题目时遇到四题比较有问题的地方，我把题目、答案和我自己的算法整理如下，
希望板友能不吝帮忙，谢谢！
1.
https://imgur.com/a/ZFfphDg
这题放在光谱分解(spectral decomposition)的题目，
我已经有把各个特徵值所对的特徵向量解出来，
但想问eigenspace以及eigenprojection该如何求算呢？
2.
https://imgur.com/a/y6phUc4
B的平方会等於A，则相当於将A开根号，将A对角化之後会得到A=P^(-1)DP，
则A开根号会等於P(D^1/2)P^(-1)，答案只有给一组解，
看起来是对角矩阵D的对角项开根号，虽然开根号结果一定是正，
但不能够取负的吗？平方完也一样会得到对角矩阵D的对角项(例如(-2√2)平方完还是8)。
3.
https://imgur.com/a/X69epLI
这一题我是从选项去计算是否正确，作法如附图，
不晓得还有没有比较好的讨论法或哪里要修正呢？
4.
https://imgur.com/a/9mLPpeK
第三个选项我写成Ax=(xy^T)x，因为(y^T)x为纯量，
所以写成(y^T)xx，可知x为A的一个特徵向量，
第二个选项我凑不出来，看解释说取x为特徵向量，
但第三个选项x所对的特徵根是(y^Tx)吧？就矛盾了
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1F：→ chang1248w: 1. 对应的eigen vector 直接span，投影的话点积然後 10/11 01:56
2F：→ chang1248w: 归一化 vv^t/v^tv 10/11 01:56
3F：→ chang1248w: 2 可以是负数/复数，只不过就变成不同东西了 10/11 01:57
4F：→ chang1248w: 理同平方根只会是正的 10/11 01:57
5F：→ chang1248w: 4. 内积可交换啊 10/11 02:02