作者deathcustom (Full House)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] 離散 歸納法
時間Tue Jun 7 13:10:45 2022
※ 引述《ryan83216 (ryan)》之銘言：
: 哈囉大家，我想請問這題老師的解法是這樣
: https://i.imgur.com/RT8uxpi.jpg
: 這是我的解法：
: https://i.imgur.com/6QdSRqB.jpg
: 我的想法是這樣：
: 因為知道要證的式子2-1/K+1，然後n=k+1時，導出來後面有個1/（k+1)^2，所以知道我如
: 果可以湊到k/(k+1)^2那就好，所以想放大，因為1/k>k/(k+1)^2在k>0時可以成立，所以n
: =k+1的式子減了一個比1/k小的k/(k+1)^2，等於放大了，所以紅色式子可以替換成綠色式
: 子，但這個想法純粹是因為知道歸納法我需要證的式子所以用湊的，不知道可不可行…再
: 請大神們解惑..謝謝。
考慮一個不用數歸的方式證明：
原式
sigma(1/k^2)|{k=1~N}
原式小於(1/x^2, [1,N]曲線下的面積+1)
1+integral(1/x^2)|[1,N] = 1+[-1/x]|[1,N] = 1+[1-1/N] = 2-1/N
數歸：
先驗證N=2成立
1 + 1/4 = 5/4 < 2 - 1/2 = 6/4
假設N = k成立
得左式在N = k時小於2 - 1/k
接下來驗證N = k+1時
左式小於 2 - 1/k + 1/(k+1)^2 是否小於右式2 - 1/(k+1)
我會比較
左減項[1/k - 1/(k+1)^2] vs
右減項1/(k+1) 的大小
左減項跟右減項同乘以正整數k(k+1)^2得到
左減項
(k+1)^2 - k = k^2 + k +1
右減項
k(k+1) = k^2 + k
已知對所有非負實數，k^2+k+1 > k^2+k
所以左減項大於右減項
所以左式小於右式得證#
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※ 編輯: deathcustom (218.32.247.8 臺灣), 06/07/2022 14:59:16