作者deathcustom (Full House)
看板Grad-ProbAsk
标题Re: [理工] 离散 归纳法
时间Tue Jun 7 13:10:45 2022
※ 引述《ryan83216 (ryan)》之铭言：
: 哈罗大家，我想请问这题老师的解法是这样
: https://i.imgur.com/RT8uxpi.jpg
: 这是我的解法：
: https://i.imgur.com/6QdSRqB.jpg
: 我的想法是这样：
: 因为知道要证的式子2-1/K+1，然後n=k+1时，导出来後面有个1/（k+1)^2，所以知道我如
: 果可以凑到k/(k+1)^2那就好，所以想放大，因为1/k>k/(k+1)^2在k>0时可以成立，所以n
: =k+1的式子减了一个比1/k小的k/(k+1)^2，等於放大了，所以红色式子可以替换成绿色式
: 子，但这个想法纯粹是因为知道归纳法我需要证的式子所以用凑的，不知道可不可行…再
: 请大神们解惑..谢谢。
考虑一个不用数归的方式证明：
原式
sigma(1/k^2)|{k=1~N}
原式小於(1/x^2, [1,N]曲线下的面积+1)
1+integral(1/x^2)|[1,N] = 1+[-1/x]|[1,N] = 1+[1-1/N] = 2-1/N
数归：
先验证N=2成立
1 + 1/4 = 5/4 < 2 - 1/2 = 6/4
假设N = k成立
得左式在N = k时小於2 - 1/k
接下来验证N = k+1时
左式小於 2 - 1/k + 1/(k+1)^2 是否小於右式2 - 1/(k+1)
我会比较
左减项[1/k - 1/(k+1)^2] vs
右减项1/(k+1) 的大小
左减项跟右减项同乘以正整数k(k+1)^2得到
左减项
(k+1)^2 - k = k^2 + k +1
右减项
k(k+1) = k^2 + k
已知对所有非负实数，k^2+k+1 > k^2+k
所以左减项大於右减项
所以左式小於右式得证#
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※ 编辑: deathcustom (218.32.247.8 台湾), 06/07/2022 14:59:16