作者uuxx66 (uuxx66)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] Jordan Form 觀念釐清
時間Mon Jan 18 14:12:28 2021
大家打擾了
這幾天在看Jordan Form
遇到兩個觀念上的小問題
想跟板上大大討論看看
1.
https://i.imgur.com/iMEAA6L.jpg
如圖
想請問 圖中v1,v2,v3
那段的寫法
v2=(A-2I)v1
v1屬於ker((A-2I)^2)-ker(A-2I)
v3屬於ker(A-2I)
是屬於冪零矩陣的寫法嗎？
如果是的話有點不是很能理解v1那段的意思
而我們畫dot diagram時是從最右邊行往左畫
這樣意思是說我們是v2 -> v3 -> v1這樣畫過去嗎
前面都畫好好的來到這裡看到這樣有點困惑
想請教一下大家是不是我的觀念哪邊錯誤了
2.
https://i.imgur.com/qYmaLbo.jpg
在minimal polynomial 這邊
我的理解是會依照不同次方組合出來
對應關係如藍底與黃底次方對應
但是畫成Jordan form時
中間卻又加了紅底的J進去
而紅底有的是以0為eigenvalue 有的卻以1
想確認這邊是要以什麼規則去組合我忽略掉了嗎
抱歉問題可能有點亂
希望表達上還能更理解
自己是自學這一段有點怕用觀察跟自己去理解有些偏差
想跟板上大大請教一下
非常謝謝！
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1F：推 try66889: 2. minimal polynomial 對應的eigenvalue次方數會是那 01/18 15:59
現在發現其實跟前面的觀念也是相關的！非常感謝
謝謝try大大！思考過後我突然通了 之前不明白定理6-26的意思
2F：→ try66889: 個eigenvalue點圖的第一列點數 01/18 15:59
3F：→ try66889: （定理6-26、注意事項6-31的(2)) 01/18 15:59
4F：→ try66889: 第二小題的例子來說minimal polynomial是(x)^2 *(x-1) 01/18 15:59
5F：→ try66889: 因此eigenvalue=0第一列會有2個點，0的代數重數有3個， 01/18 15:59
6F：→ try66889: 因此第二列的點只有一個。eigenvalue=1 第一列的點只有 01/18 15:59
7F：→ try66889: 1個，因為minimal polynomial 只有一次方， 01/18 15:59
8F：→ try66889: 因此eigenvalue=1的第二列的點有一個，再切成Jordan fo 01/18 15:59
9F：→ try66889: rm。其他小題也是這樣～ 01/18 15:59
10F：→ try66889: 紅底的部分就是你其他列切出來的結果， 01/18 16:08
11F：→ try66889: 第二小題來說因為eigenvalue=0第二列只有一個點，所以 01/18 16:08
12F：→ try66889: 有個0只有切自己一塊 01/18 16:08
13F：→ try66889: 更正一下eigenvalue =1那邊。剛才的寫法怕有誤會 01/18 16:43
14F：→ try66889: eigenvalue=1 因為minimal polynomial 只有一次方， 01/18 16:43
15F：→ try66889: 所以第一列的點只有一個，因為1的代數重數是2 01/18 16:44
16F：→ try66889: 所以第二列有一個點 01/18 16:44
※ 編輯: uuxx66 (223.138.15.80 臺灣), 01/18/2021 19:48:51
※ 編輯: uuxx66 (223.138.15.80 臺灣), 01/18/2021 19:49:29
17F：推 a84172543: 你的Jordan form是用下三角嗎？ 02/02 01:18
18F：→ a84172543: 那這樣你放的向量順序 02/02 01:18
19F：→ a84172543: 容易跟別人溝通上有代溝 02/02 01:18
20F：→ a84172543: 當然沒有一定啦 02/02 01:18
21F：→ a84172543: min. poly.的次方 02/02 01:20
22F：→ a84172543: 就是找最大分塊的階數 02/02 01:20
23F：→ a84172543: 至於怎麼放就取決 02/02 01:20
24F：→ a84172543: 你的特徵向量順序怎麼擺 02/02 01:20
25F：推 a84172543: 另外...我是沒有很理解畫那個圖的用意 02/02 01:29
26F：→ a84172543: 但我自己對Jordan form是這樣 02/02 01:29
27F：→ a84172543: dim(ker(A-2I))=2 02/02 01:29
28F：→ a84172543: 也就是eigenvextor有兩個 02/02 01:29
29F：→ a84172543: 但a.m.(2)=3 02/02 01:30
30F：→ a84172543: 就差一個是...generalized eigenvector 02/02 01:30
31F：→ a84172543: 搭配你的Jordan form 02/02 01:30
32F：→ a84172543: . 02/02 01:30
33F：→ a84172543: dim(ker(A-2I))=2->{v2,v3} 02/02 01:30
34F：→ a84172543: dim(ker(A-2I)^2)=3->{v1,v2,v3} 02/02 01:30
35F：→ a84172543: 所以v1 就用集合的差集A-B 02/02 01:30