作者uuxx66 (uuxx66)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] Jordan Form 观念厘清
时间Mon Jan 18 14:12:28 2021
大家打扰了
这几天在看Jordan Form
遇到两个观念上的小问题
想跟板上大大讨论看看
1.
https://i.imgur.com/iMEAA6L.jpg
如图
想请问 图中v1,v2,v3
那段的写法
v2=(A-2I)v1
v1属於ker((A-2I)^2)-ker(A-2I)
v3属於ker(A-2I)
是属於幂零矩阵的写法吗？
如果是的话有点不是很能理解v1那段的意思
而我们画dot diagram时是从最右边行往左画
这样意思是说我们是v2 -> v3 -> v1这样画过去吗
前面都画好好的来到这里看到这样有点困惑
想请教一下大家是不是我的观念哪边错误了
2.
https://i.imgur.com/qYmaLbo.jpg
在minimal polynomial 这边
我的理解是会依照不同次方组合出来
对应关系如蓝底与黄底次方对应
但是画成Jordan form时
中间却又加了红底的J进去
而红底有的是以0为eigenvalue 有的却以1
想确认这边是要以什麽规则去组合我忽略掉了吗
抱歉问题可能有点乱
希望表达上还能更理解
自己是自学这一段有点怕用观察跟自己去理解有些偏差
想跟板上大大请教一下
非常谢谢！
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1F：推 try66889: 2. minimal polynomial 对应的eigenvalue次方数会是那 01/18 15:59
现在发现其实跟前面的观念也是相关的！非常感谢
谢谢try大大！思考过後我突然通了 之前不明白定理6-26的意思
2F：→ try66889: 个eigenvalue点图的第一列点数 01/18 15:59
3F：→ try66889: （定理6-26、注意事项6-31的(2)) 01/18 15:59
4F：→ try66889: 第二小题的例子来说minimal polynomial是(x)^2 *(x-1) 01/18 15:59
5F：→ try66889: 因此eigenvalue=0第一列会有2个点，0的代数重数有3个， 01/18 15:59
6F：→ try66889: 因此第二列的点只有一个。eigenvalue=1 第一列的点只有 01/18 15:59
7F：→ try66889: 1个，因为minimal polynomial 只有一次方， 01/18 15:59
8F：→ try66889: 因此eigenvalue=1的第二列的点有一个，再切成Jordan fo 01/18 15:59
9F：→ try66889: rm。其他小题也是这样～ 01/18 15:59
10F：→ try66889: 红底的部分就是你其他列切出来的结果， 01/18 16:08
11F：→ try66889: 第二小题来说因为eigenvalue=0第二列只有一个点，所以 01/18 16:08
12F：→ try66889: 有个0只有切自己一块 01/18 16:08
13F：→ try66889: 更正一下eigenvalue =1那边。刚才的写法怕有误会 01/18 16:43
14F：→ try66889: eigenvalue=1 因为minimal polynomial 只有一次方， 01/18 16:43
15F：→ try66889: 所以第一列的点只有一个，因为1的代数重数是2 01/18 16:44
16F：→ try66889: 所以第二列有一个点 01/18 16:44
※ 编辑: uuxx66 (223.138.15.80 台湾), 01/18/2021 19:48:51
※ 编辑: uuxx66 (223.138.15.80 台湾), 01/18/2021 19:49:29
17F：推 a84172543: 你的Jordan form是用下三角吗？ 02/02 01:18
18F：→ a84172543: 那这样你放的向量顺序 02/02 01:18
19F：→ a84172543: 容易跟别人沟通上有代沟 02/02 01:18
20F：→ a84172543: 当然没有一定啦 02/02 01:18
21F：→ a84172543: min. poly.的次方 02/02 01:20
22F：→ a84172543: 就是找最大分块的阶数 02/02 01:20
23F：→ a84172543: 至於怎麽放就取决 02/02 01:20
24F：→ a84172543: 你的特徵向量顺序怎麽摆 02/02 01:20
25F：推 a84172543: 另外...我是没有很理解画那个图的用意 02/02 01:29
26F：→ a84172543: 但我自己对Jordan form是这样 02/02 01:29
27F：→ a84172543: dim(ker(A-2I))=2 02/02 01:29
28F：→ a84172543: 也就是eigenvextor有两个 02/02 01:29
29F：→ a84172543: 但a.m.(2)=3 02/02 01:30
30F：→ a84172543: 就差一个是...generalized eigenvector 02/02 01:30
31F：→ a84172543: 搭配你的Jordan form 02/02 01:30
32F：→ a84172543: . 02/02 01:30
33F：→ a84172543: dim(ker(A-2I))=2->{v2,v3} 02/02 01:30
34F：→ a84172543: dim(ker(A-2I)^2)=3->{v1,v2,v3} 02/02 01:30
35F：→ a84172543: 所以v1 就用集合的差集A-B 02/02 01:30