作者ccapricorntw (11)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] 108 台大電信 線代
時間Wed Jan 22 19:08:09 2020
https://imgur.com/bOqskej
之前與版友討論是F
反例如下：
A = [0 1 v = [1
1 0] 0]
但想問這題該如何以觀念解題
畢竟反例不一定能想到
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1F：推 mistel: 翻譯成中文是說若存在vTAv=0 則這個v屬於ker(A) 看起來是 01/22 19:38
2F：→ mistel: 不對的 但不知道有沒有相關的觀念 01/22 19:38
3F：→ Ricestone: A symmetric，可正交對角化，用特徵向量假設v的形式 01/22 19:41
4F：→ Ricestone: 可知vTAv=α^2(λ_1)|v_1|^2+β^2(λ_2)|v_2|^2 01/22 19:42
5F：→ Ricestone: 寫成這樣找反例就很簡單了 01/22 19:43
6F：→ Ricestone: 不過要注意的是可正交對角化並不保證是對稱，所以要先 01/22 19:58
7F：→ Ricestone: 找到特徵值並非全正或全負的對稱矩陣（非正定或負定） 01/22 19:59
還是不太會欸 請問R大列出那條式子後該怎麼找？就算取單位特徵向量也還有4個未知數
8F：→ Ricestone: 就自由設啊，特徵值是跟你選的對稱矩陣有關 01/22 20:26
9F：→ Ricestone: 像這個例子，特徵值是1,-1，那要怎麼變0？ 01/22 20:27
10F：→ Ricestone: 也就是說，從這個式子你可以看到只要不是正定或負定， 01/22 20:28
11F：→ Ricestone: 那麼不管哪個可逆對稱矩陣都能辦得到這件事 01/22 20:29
12F：→ Ricestone: 更一般地說，只要特徵值有正有負就行了，還不用可逆 01/22 20:31
感謝R大 有成功舉出幾個反例了！
13F：推 luandy2: = = v^tAv=(v,Av)，只要v跟Av垂直就可以是0了不用Av=0 01/22 20:53
14F：→ luandy2: ，不用謝 01/22 20:53
好像蠻有道理的 不過這樣好像跟symmetric就無關了？
16F：→ DLHZ: 大概的意思就是 只要特徵值有正有負 就可以舉出對應的特徵向 01/22 21:22
17F：→ DLHZ: 量的線性組合 使得題目的敘述不為真 01/22 21:22
18F：→ Ricestone: 不要被帶走了，你本來就是在問要怎麼找到能否定敘述的v 01/22 21:25
19F：→ Ricestone: 要否定敘述，不只是要找到v,A使得v跟Av垂直，還要確定 01/22 21:26
20F：→ Ricestone: Av不為0 假設今天A是I，那你連vTAv=0的v都找不到，而 01/22 21:27
21F：→ Ricestone: 如果A={{1,0},{0,0}}，那不管你再怎麼找出v，它都會有 01/22 21:28
22F：→ Ricestone: Av=0 01/22 21:28
23F：→ DLHZ: 如果要以垂直來看 找出v讓v跟Av垂直 由於Av屬於行空間 所以v 01/22 21:31
24F：→ DLHZ: 要在A的左零空間 但以你的例題來看 要去哪裡找在左零空間但 01/22 21:31
25F：→ DLHZ: 不為零的元素？ 01/22 21:31
兩位大大觀念好清楚... 感謝
※ 編輯: ccapricorntw (180.176.55.182 臺灣), 01/22/2020 23:45:14
26F：推 nctudada: 借問個 是不是只要A是symmetric，則ker(A)就會等於Lker( 01/23 22:33
27F：→ nctudada: A)，所以用垂直會找不到？ 01/23 22:33
28F：→ Ricestone: 並不是因為用垂直找不到，而是你本來就知道那是垂直 01/23 23:03
29F：→ Ricestone: 單純知道這件事不會讓你真的能找到v 01/23 23:04
30F：→ Ricestone: 反過來說，題目這樣出，反而讓你多個線索去找反例 01/23 23:07
31F：→ Ricestone: D大說v要在A的左零這句不對，左零是對所有行空間向量都 01/23 23:17
32F：→ Ricestone: 垂直的向量，但是跟特定的行空間向量垂直的不需要在左 01/23 23:18
33F：→ Ricestone: 零 01/23 23:19
34F：→ DLHZ: 我本來是想說 如果要以v跟Av垂直這件事下去想的話的方向 01/23 23:44
35F：→ DLHZ: 與特定行空間垂直感覺也比較好解釋? 假設v=[1 0]^T (隨意) 01/23 23:57
36F：→ DLHZ: A的第一個行向量設成與[1 0]垂直 v就會與A的"特定行空間Av" 01/23 23:57
37F：→ DLHZ: 垂直 剩下的任意補使得A為symmetric 就能得出反例 01/23 23:57
38F：→ Ricestone: 這樣也很不錯，固定v反過來構造A的方式 01/24 00:06