作者ccapricorntw (11)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] 108 台大电信 线代
时间Wed Jan 22 19:08:09 2020
https://imgur.com/bOqskej
之前与版友讨论是F
反例如下：
A = [0 1 v = [1
1 0] 0]
但想问这题该如何以观念解题
毕竟反例不一定能想到
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 180.176.55.182 (台湾)
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1F：推 mistel: 翻译成中文是说若存在vTAv=0 则这个v属於ker(A) 看起来是 01/22 19:38
2F：→ mistel: 不对的 但不知道有没有相关的观念 01/22 19:38
3F：→ Ricestone: A symmetric，可正交对角化，用特徵向量假设v的形式 01/22 19:41
4F：→ Ricestone: 可知vTAv=α^2(λ_1)|v_1|^2+β^2(λ_2)|v_2|^2 01/22 19:42
5F：→ Ricestone: 写成这样找反例就很简单了 01/22 19:43
6F：→ Ricestone: 不过要注意的是可正交对角化并不保证是对称，所以要先 01/22 19:58
7F：→ Ricestone: 找到特徵值并非全正或全负的对称矩阵（非正定或负定） 01/22 19:59
还是不太会欸 请问R大列出那条式子後该怎麽找？就算取单位特徵向量也还有4个未知数
8F：→ Ricestone: 就自由设啊，特徵值是跟你选的对称矩阵有关 01/22 20:26
9F：→ Ricestone: 像这个例子，特徵值是1,-1，那要怎麽变0？ 01/22 20:27
10F：→ Ricestone: 也就是说，从这个式子你可以看到只要不是正定或负定， 01/22 20:28
11F：→ Ricestone: 那麽不管哪个可逆对称矩阵都能办得到这件事 01/22 20:29
12F：→ Ricestone: 更一般地说，只要特徵值有正有负就行了，还不用可逆 01/22 20:31
感谢R大 有成功举出几个反例了！
13F：推 luandy2: = = v^tAv=(v,Av)，只要v跟Av垂直就可以是0了不用Av=0 01/22 20:53
14F：→ luandy2: ，不用谢 01/22 20:53
好像蛮有道理的 不过这样好像跟symmetric就无关了？
16F：→ DLHZ: 大概的意思就是 只要特徵值有正有负 就可以举出对应的特徵向 01/22 21:22
17F：→ DLHZ: 量的线性组合 使得题目的叙述不为真 01/22 21:22
18F：→ Ricestone: 不要被带走了，你本来就是在问要怎麽找到能否定叙述的v 01/22 21:25
19F：→ Ricestone: 要否定叙述，不只是要找到v,A使得v跟Av垂直，还要确定 01/22 21:26
20F：→ Ricestone: Av不为0 假设今天A是I，那你连vTAv=0的v都找不到，而 01/22 21:27
21F：→ Ricestone: 如果A={{1,0},{0,0}}，那不管你再怎麽找出v，它都会有 01/22 21:28
22F：→ Ricestone: Av=0 01/22 21:28
23F：→ DLHZ: 如果要以垂直来看 找出v让v跟Av垂直 由於Av属於行空间 所以v 01/22 21:31
24F：→ DLHZ: 要在A的左零空间 但以你的例题来看 要去哪里找在左零空间但 01/22 21:31
25F：→ DLHZ: 不为零的元素？ 01/22 21:31
两位大大观念好清楚... 感谢
※ 编辑: ccapricorntw (180.176.55.182 台湾), 01/22/2020 23:45:14
26F：推 nctudada: 借问个 是不是只要A是symmetric，则ker(A)就会等於Lker( 01/23 22:33
27F：→ nctudada: A)，所以用垂直会找不到？ 01/23 22:33
28F：→ Ricestone: 并不是因为用垂直找不到，而是你本来就知道那是垂直 01/23 23:03
29F：→ Ricestone: 单纯知道这件事不会让你真的能找到v 01/23 23:04
30F：→ Ricestone: 反过来说，题目这样出，反而让你多个线索去找反例 01/23 23:07
31F：→ Ricestone: D大说v要在A的左零这句不对，左零是对所有行空间向量都 01/23 23:17
32F：→ Ricestone: 垂直的向量，但是跟特定的行空间向量垂直的不需要在左 01/23 23:18
33F：→ Ricestone: 零 01/23 23:19
34F：→ DLHZ: 我本来是想说 如果要以v跟Av垂直这件事下去想的话的方向 01/23 23:44
35F：→ DLHZ: 与特定行空间垂直感觉也比较好解释? 假设v=[1 0]^T (随意) 01/23 23:57
36F：→ DLHZ: A的第一个行向量设成与[1 0]垂直 v就会与A的"特定行空间Av" 01/23 23:57
37F：→ DLHZ: 垂直 剩下的任意补使得A为symmetric 就能得出反例 01/23 23:57
38F：→ Ricestone: 这样也很不错，固定v反过来构造A的方式 01/24 00:06