作者a84172543 (SayaCintaMu)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] 線代，對稱矩陣
時間Wed Dec 11 18:34:47 2019
想請問第八題（1）：
https://i.imgur.com/BKcr083.jpg
關於實對稱矩陣有很多性質
且我目前熟悉的是 有以下：
1. 可正交對角化（orthogonal Q)
2. 其特徵值必為實數
3. 根據1.和 Jordan form的內容可知
不同特徵值產生的特徵向量空間
必然都互相垂直
如題，如何能確定...特徵值必正？
然後這種狀況 又容易混淆 （半）正定性
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※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 18:37:34
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 18:37:55
1F：→ Ricestone: 你看錯題目意思了，題目就是在講如果正定，這兩個條件12/11 18:45
2F：→ Ricestone: 就等價12/11 18:45
3F：→ Ricestone: 如果有(1)就有(2)，有(2)就有(1)12/11 18:47
4F：→ a84172543: 哦哦，所以兩個去互推（若且為若）就行了嗎？12/11 18:51
5F：→ Ricestone: 嗯，我第一行「正定」這兩個字算是多的12/11 18:52
6F：→ Ricestone: 應該說成是你想知道實對稱是否正定，這兩個條件判斷其12/11 18:53
7F：→ Ricestone: 中一個就好12/11 18:53
8F：→ a84172543: 另外想請問 如何確定12/11 19:58
9F：→ a84172543: 實矩陣的特徵多項式=0 會有全為實根12/11 19:5
8
10F：→ a84172543: 因為在對稱矩陣上總是說12/11 19:58
11F：→ a84172543: 「如果有特徵值 則必為實數」12/11 19:58
12F：→ a84172543: 但能保證 特徵值的存在性12/11 19:58
13F：→ a84172543: 似乎也不能用實數回推有特徵值12/11 19:58
14F：→ a84172543: （否則就循環論證）12/11 19:58
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 19:58:53
15F：推 mi981027: 你的問題其實就是實矩陣的特徵值是否一定是實數12/11 20:19
16F：→ mi981027: 這個答案是錯 需要加上Hermitian的條件才會對12/11 20:19
17F：→ mi981027: 另外存在性的問題要看你去哪裡找這個特徵值12/11 20:19
18F：→ mi981027: 一個實矩陣的特徵多項式一定是實係數多項式12/11 20:19
19F：→ mi981027: n次實係數多項式一定有n個複數解 且虛根會成對12/11 20:19
20F：→ mi981027: Hermitian矩陣特徵值一定是實數的證明完全可以從複數空12/11 20:19
21F：→ mi981027: 間推論 所以沒有問題12/11 20:19
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 20:39:42
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 20:43:22
22F：推 cms1717698: 就實數來說 Hermitian的確和對稱同義 12/11 20:41
23F：→ cms1717698: n次實係數方程式一定有n個虛數解，且虛數成對存在，因 12/11 20:42
24F：→ cms1717698: 為這樣相乘之後係數才會是實數，這邊的解就是特徵值 12/11 20:42
25F：→ cms1717698: 這是方程式的基本原理，不用想到線代這麼複雜的部分 12/11 20:43
我在舉個例子，例如我是一個5階實方陣
我的特徵多項式為五次實係數多項式方程式
根據代數基本定理 會有以下情況
5實根、3實2虛、1實4虛
根據Hermitian，有特徵值必然實數
但如何說明就得是5個實根這個狀況？
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 20:51:09
26F：→ Ricestone: Hermitian不只是有實根，是全部都實根 12/11 20:51
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 20:53:06
我從我自己舉例過程中
好像有點體悟了
n階實方陣，產生出n次特徵方程
根據代數基本定理必然有n個複數根
z1,z2,... ... ,zn
因為Hermitian說明，z1,z2,... ...,zn必為實數
所以總結...實對稱矩陣必有n個實數特徵值
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 20:56:33
27F：→ Ricestone: 這有講到Hermitian矩陣都會證明啊12/11 20:55
28F：→ Ricestone: Ax=λx，xHAx=λxHx，而xHAx因為與其共軛相等，所以是 12/11 20:56
29F：→ Ricestone: 實數，也因此λ是實數 12/11 20:57
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 20:58:05
30F：推 cms1717698: 我懂你的意思了，但是我不太清楚怎麼從那個角度去證明 12/11 20:57
31F：→ cms1717698: ，只能寫出以下通式證明，希望能有幫助12/11 20:57
32F：→ cms1717698: 要注意，實對稱這個條件，而不是實矩陣就好12/11 20:57
這個內容我知道，所以我確定有的話當然是實數沒問題，但我前面是卡在沒有怎麼辦，但
根據代數基本定理不可能沒有，所以一有根，必然實數，我應該體會了，應該是被資料用
詞所誤導，因為都說「如果有的話...」，我一直卡在沒有的話怎麼辦，但又不可能沒有
。
整體來說，我應該懂了～謝謝樓上各位大大
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 21:03:02
34F：→ Ricestone: 實對稱本身就是Hermitian，你既然接受Hermitian的根都12/11 21:00
35F：→ Ricestone: 是實數，那實對稱的根當然也都是實數，這跟那特徵方程12/11 21:01
36F：→ Ricestone: 的關係已經不大了12/11 21:01
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 21:03:58
想詢問一下 我整理的筆記內容
關於...對稱、正定、正規等內容
還有沒有其他重要的內容可以連結或統整
我全部放在對角化、Jordan form之後自學
另外有個二次型式的東西...不確定是什麼
好想跟正定有關
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 21:11:10
38F：→ Ricestone: 二次型就是xTAx啊，「正定」指的的就是二次型的正定 12/11 21:14
39F：推 cms1717698: 二次型式就是你筆記第四點那個呀 12/11 22:08