作者a84172543 (SayaCintaMu)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] 线代，对称矩阵
时间Wed Dec 11 18:34:47 2019
想请问第八题（1）：
https://i.imgur.com/BKcr083.jpg
关於实对称矩阵有很多性质
且我目前熟悉的是 有以下：
1. 可正交对角化（orthogonal Q)
2. 其特徵值必为实数
3. 根据1.和 Jordan form的内容可知
不同特徵值产生的特徵向量空间
必然都互相垂直
如题，如何能确定...特徵值必正？
然後这种状况 又容易混淆 （半）正定性
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※ 编辑: a84172543 (27.246.39.165 台湾), 12/11/2019 18:37:34
※ 编辑: a84172543 (27.246.39.165 台湾), 12/11/2019 18:37:55
1F：→ Ricestone: 你看错题目意思了，题目就是在讲如果正定，这两个条件12/11 18:45
2F：→ Ricestone: 就等价12/11 18:45
3F：→ Ricestone: 如果有(1)就有(2)，有(2)就有(1)12/11 18:47
4F：→ a84172543: 哦哦，所以两个去互推（若且为若）就行了吗？12/11 18:51
5F：→ Ricestone: 嗯，我第一行「正定」这两个字算是多的12/11 18:52
6F：→ Ricestone: 应该说成是你想知道实对称是否正定，这两个条件判断其12/11 18:53
7F：→ Ricestone: 中一个就好12/11 18:53
8F：→ a84172543: 另外想请问 如何确定12/11 19:58
9F：→ a84172543: 实矩阵的特徵多项式=0 会有全为实根12/11 19:5
8
10F：→ a84172543: 因为在对称矩阵上总是说12/11 19:58
11F：→ a84172543: 「如果有特徵值 则必为实数」12/11 19:58
12F：→ a84172543: 但能保证 特徵值的存在性12/11 19:58
13F：→ a84172543: 似乎也不能用实数回推有特徵值12/11 19:58
14F：→ a84172543: （否则就循环论证）12/11 19:58
※ 编辑: a84172543 (27.246.39.165 台湾), 12/11/2019 19:58:53
15F：推 mi981027: 你的问题其实就是实矩阵的特徵值是否一定是实数12/11 20:19
16F：→ mi981027: 这个答案是错 需要加上Hermitian的条件才会对12/11 20:19
17F：→ mi981027: 另外存在性的问题要看你去哪里找这个特徵值12/11 20:19
18F：→ mi981027: 一个实矩阵的特徵多项式一定是实系数多项式12/11 20:19
19F：→ mi981027: n次实系数多项式一定有n个复数解 且虚根会成对12/11 20:19
20F：→ mi981027: Hermitian矩阵特徵值一定是实数的证明完全可以从复数空12/11 20:19
21F：→ mi981027: 间推论 所以没有问题12/11 20:19
※ 编辑: a84172543 (27.246.39.165 台湾), 12/11/2019 20:39:42
※ 编辑: a84172543 (27.246.39.165 台湾), 12/11/2019 20:43:22
22F：推 cms1717698: 就实数来说 Hermitian的确和对称同义 12/11 20:41
23F：→ cms1717698: n次实系数方程式一定有n个虚数解，且虚数成对存在，因 12/11 20:42
24F：→ cms1717698: 为这样相乘之後系数才会是实数，这边的解就是特徵值 12/11 20:42
25F：→ cms1717698: 这是方程式的基本原理，不用想到线代这麽复杂的部分 12/11 20:43
我在举个例子，例如我是一个5阶实方阵
我的特徵多项式为五次实系数多项式方程式
根据代数基本定理 会有以下情况
5实根、3实2虚、1实4虚
根据Hermitian，有特徵值必然实数
但如何说明就得是5个实根这个状况？
※ 编辑: a84172543 (27.246.39.165 台湾), 12/11/2019 20:51:09
26F：→ Ricestone: Hermitian不只是有实根，是全部都实根 12/11 20:51
※ 编辑: a84172543 (27.246.39.165 台湾), 12/11/2019 20:53:06
我从我自己举例过程中
好像有点体悟了
n阶实方阵，产生出n次特徵方程
根据代数基本定理必然有n个复数根
z1,z2,... ... ,zn
因为Hermitian说明，z1,z2,... ...,zn必为实数
所以总结...实对称矩阵必有n个实数特徵值
※ 编辑: a84172543 (27.246.39.165 台湾), 12/11/2019 20:56:33
27F：→ Ricestone: 这有讲到Hermitian矩阵都会证明啊12/11 20:55
28F：→ Ricestone: Ax=λx，xHAx=λxHx，而xHAx因为与其共轭相等，所以是 12/11 20:56
29F：→ Ricestone: 实数，也因此λ是实数 12/11 20:57
※ 编辑: a84172543 (27.246.39.165 台湾), 12/11/2019 20:58:05
30F：推 cms1717698: 我懂你的意思了，但是我不太清楚怎麽从那个角度去证明 12/11 20:57
31F：→ cms1717698: ，只能写出以下通式证明，希望能有帮助12/11 20:57
32F：→ cms1717698: 要注意，实对称这个条件，而不是实矩阵就好12/11 20:57
这个内容我知道，所以我确定有的话当然是实数没问题，但我前面是卡在没有怎麽办，但
根据代数基本定理不可能没有，所以一有根，必然实数，我应该体会了，应该是被资料用
词所误导，因为都说「如果有的话...」，我一直卡在没有的话怎麽办，但又不可能没有
。
整体来说，我应该懂了～谢谢楼上各位大大
※ 编辑: a84172543 (27.246.39.165 台湾), 12/11/2019 21:03:02
34F：→ Ricestone: 实对称本身就是Hermitian，你既然接受Hermitian的根都12/11 21:00
35F：→ Ricestone: 是实数，那实对称的根当然也都是实数，这跟那特徵方程12/11 21:01
36F：→ Ricestone: 的关系已经不大了12/11 21:01
※ 编辑: a84172543 (27.246.39.165 台湾), 12/11/2019 21:03:58
想询问一下 我整理的笔记内容
关於...对称、正定、正规等内容
还有没有其他重要的内容可以连结或统整
我全部放在对角化、Jordan form之後自学
另外有个二次型式的东西...不确定是什麽
好想跟正定有关
※ 编辑: a84172543 (27.246.39.165 台湾), 12/11/2019 21:11:10
38F：→ Ricestone: 二次型就是xTAx啊，「正定」指的的就是二次型的正定 12/11 21:14
39F：推 cms1717698: 二次型式就是你笔记第四点那个呀 12/11 22:08