作者Yic0197 (科科科55)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] 105台聯大線代
時間Sun Nov 3 12:26:07 2019
https://imgur.com/q4FYnF4
答案是 (a)(c)
想不到 Q1和 Q2 個別有甚麼樣子關係 謝謝~
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1F：推 mistel: 如果你不知道正交對角化，題目也跟你說Q是一個orthonorma 11/03 12:49
2F：→ mistel: l matrix，代表行向量是單位向量且彼此正交 所以行向量彼 11/03 12:49
3F：→ mistel: 此內積為0 自己跟自己內積為1 11/03 12:49
4F：推 mistel: (b)我覺得是因為A對自己的eigenvector，在eigenvalue=0時 11/03 12:54
5F：→ mistel: ，Ax=0x=0成立 有錯請幫小弟指正 11/03 12:54
6F：→ Yic0197: 謝謝m大，至於(b)會是因為rank(A) =r 嗎？ 11/03 13:32
7F：推 mistel: 感謝你，沒看到這個 那我覺得我應該沒有錯，就是說明A不 11/03 13:47
8F：→ mistel: 可逆，所以A會有個eigenvalue是0 11/03 13:47
9F：推 mi981027: 其實Q1, Q2有更深的含義可以用SVD來解釋 11/03 13:51
10F：→ mi981027: 另外 可以證明Q1Q1^T, Q2Q2^T會是idempotent 這樣a選項 11/03 13:51
11F：→ mi981027: 才選的出來 11/03 13:51
13F：→ mi981027: 簡單說就是Q1的行空間等於R(A), Q2的行空間等於ker(A) 11/03 13:57
14F：→ mi981027: 所以rank(Q1)=r, rank(Q2)=n-r 11/03 13:57
16F：→ mi981027: 這是直觀解釋 所以b為什麼會錯就是因為Q2所有行向量都是 11/03 14:00
17F：→ mi981027: ker(A)的基底，AQ2乘起來自然是零矩陣 11/03 14:00
18F：→ Ricestone: 其實它題目沒出好，不然就是答案沒有(a) 11/03 14:21
19F：→ Ricestone: 因為它沒有規定Λ的樣子，我們沒辦法確定Q1就是所有非 11/03 14:21
20F：→ Ricestone: 屬於ker(A)的基底 11/03 14:22
21F：推 mistel: 原來如此 我想的太淺了... 11/03 18:39
22F：推 mistel: 請問一下 這樣(A)選項的Q1Q1^T直觀意義是什麼？ 11/03 19:06
23F：推 mistel: 哦哦 是投影到R(A)的矩陣？ 先假設Q1是range(A)的話 11/03 19:09
24F：→ Ricestone: 嗯 11/03 19:09
26F：→ Ricestone: A是symmetric 11/03 19:34
27F：→ ekids1234: 噢抱歉原來是題目說明 Orz 11/03 19:42
28F：→ ekids1234: 不過這題 如果非對稱，答案所提及的性質應該也不變 ? 11/03 19:44
29F：→ Ricestone: 沒辦法正交對角化啊 11/03 19:48
30F：→ Ricestone: 主要是SVD的U跟V不一定一樣，不然如果這題講明了就是 11/03 19:51
31F：→ Ricestone: SVD，而且只考慮U的話，那性質的確是一樣的 11/03 19:52
32F：推 mi981027: 我想是我直觀解釋那part有點混淆 那裡只說明維度一樣 11/03 20:05
33F：→ mi981027: 如果A不對稱的話，R(Q2)就不會是ker(A)了，而是ker(A^T) 11/03 20:05
34F：→ mi981027: ，這還是要用SVD解釋 11/03 20:05
35F：→ mi981027: 這題的關鍵就在R(Q2)是ker(A) 11/03 20:05
36F：→ mi981027: A選項那邊 R(I - A1A1^T)不需要對稱的條件就能證明他是k 11/03 20:05
37F：→ mi981027: er(A)了 但要有對稱才能證出R(Q2Q2^T)也是ker(A) 11/03 20:05
38F：→ mi981027: C選項也是建立在同樣的條件 11/03 20:05
39F：→ mi981027: 當然前提是他有說明清楚對角矩陣的值有照順序排好 11/03 20:05
40F：→ mi981027: 講錯了... B選項也是建立在同樣的條件 11/03 20:10
41F：→ Ricestone: 對，我只顧著Q2會是ker，忘了注意那是A^T的 11/03 20:39
42F：→ Ricestone: 不過(C)什麼都用不到，只要Q是正交就會這樣 11/03 20:40
43F：→ Ricestone: 喔，你是指C選項講錯 11/03 20:43
44F：→ mi981027: 嗯嗯 抱歉我發現又有一個地方打錯QQ 11/03 20:48
45F：→ mi981027: 上面那應該是R(I - Q1Q1^T)不需要對稱的條件 11/03 20:48