作者x411066 (熱開水)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] Rock polynomail問題
時間Wed Oct 30 15:41:40 2019
您好，問題如下，有些冗長不好意思
Q: A pair of dice, one red and the other green, is rolled six times. We know
that the ordered pairs (1, 1), (1, 5), (2, 4), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (5,
1), and (6, 3) did not come up. What is the probability that every value came
up on both the red die and the green one?
A:
題目說擲六次中，紅色和綠色的點數{1, 2, 3, 4, 5, 6}都要出現。理解為這是A->B
一對一對的關係，但是又要扣掉禁位的pairs。
所以這是這是紅綠骰子的禁位表格
a1 表示出現點數對(1, 1)(1, 5)
a2 --------------(2, 4)
a3 --------------(3, 6)
a4 --------------(4, 2)(4, 4)
a5 --------------(5, 1)
a6 --------------(6, 3)
所以投擲六次骰子不會出現以上禁位的方法數 == 6! * N(~a1~a2...~6)
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║ ║ 1 ║ 2 ║ 3 ║ 4 ║ 5 ║ 6 ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 1 ║ X ║ ║ ║ ║ X ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 2 ║ ║ ║ ║ X ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 3 ║ ║ ║ ║ ║ ║ X ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 4 ║ ║ X ║ ║ X ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 5 ║ X ║ ║ ║ ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 6 ║ ║ ║ X ║ ║ ║ ║
╰═════╩═════╩═════╩════╩════╩════╩════╯
整理過後，4個互斥的C1 ~ C4
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║ ║ 1 ║ 5 ║ 2 ║ 4 ║ 3 ║ 6 ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 1 ║ X ║ X ║ ║ ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 5 ║ X ║ ║ ║ ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 2 ║ ║ ║ ║ X ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 4 ║ ║ ║ X ║ X ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 3 ║ ║ ║ ║ ║ ║ X ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 6 ║ ║ ║ ║ ║ X ║ ║
╰═════╩═════╩═════╩════╩════╩════╩════╯
r(C, x) = r(C1, x) * r(C2, x) * r(C3, x) * r(C4, x)
= (1+3x+x^2)^2 * (1+x)^2 = 1+ 8x + 24x^2 + 34x^3 + 24x^4 + 8x^5 + x^6
(1.)所以方法數 6! * [6! - 8*5! + 24*4! - 34*3! + 24*2! - 8*1! + 1*0!] = 6! * 173
(2.)沒有限制每個點數要出現的條件就是除了禁位都可以選，所以棋盤上剩下有28格，
投擲6次，方法數 == 28^6
所以每個點數皆出現的機率是 (1.) / (2.) = 6! *17 / 28^6
不太能理解方法數是 6! * N(~a1~a2...~a6)這行是為什麼，向各位請教了~
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1F：→ Ricestone: N()是丟一次，六次就是排列下去6!10/30 15:58
2F：→ Ricestone: 然後這叫rook polynomial10/30 16:00
3F：→ Ricestone: 我第一推這樣講應該不對10/30 16:43
4F：→ x411066: 標題打錯，已更改10/30 16:50
5F：→ Ricestone: 我應該說因為城堡方程式的城堡沒有考慮順序10/30 17:01
6F：→ Ricestone: 而現在是算考慮順序的情況，所以要再排列10/30 17:01
※ 編輯: x411066 (223.140.230.172 臺灣), 10/30/2019 17:02:58
7F：→ x411066: 我的理解是假設紅綠骰子沒有禁位。將會是{1, 2, 3, 4, 5, 6}
8F：→ x411066: --> {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1-1的對應
※ 編輯: x411066 (223.140.230.172 臺灣), 10/30/2019 17:08:02
9F：→ Ricestone: 這跟1-1沒什麼關係啊 10/30 17:08
10F：→ Ricestone: 不是，我是說你卡的地方跟1-1沒什麼關係 10/30 17:09
11F：→ x411066: 所以丟6次就是6！* onto (6, 6)的方法數，6！是pair當作 10/30 17:10
12F：→ x411066: 有次序之分。所以今天題目有禁位，要把後面的onto另外算 10/30 17:11
13F：→ x411066: 我這樣理解不知道可不可以 10/30 17:11
14F：→ Ricestone: 首先1-1跟onto是兩個不一樣的觀念，這裡是因為onto又 10/30 17:12
15F：→ Ricestone: 一樣大才剛好同時有1-1 10/30 17:12
16F：→ Ricestone: 你這樣理解可以 10/30 17:14
17F：→ Ricestone: 啊，不對，是我弄錯了，onto這函數在算的就是1-1的個數 10/30 17:15
18F：→ Ricestone: 總之你的理解是對的，就是onto那個位置因為禁位才變成 10/30 17:16
19F：→ Ricestone: 需要用城堡多項式算 10/30 17:16
20F：→ x411066: 哦對@@ 1-1和onto不同，我有觀念疏漏。 10/30 17:17
21F：→ x411066: 感謝解釋~ 10/30 17:17
22F：→ Ricestone: 我發現是我以為我弄錯了，一時把函數跟1-1混在一起 10/30 17:25