作者x411066 (热开水)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] Rock polynomail问题
时间Wed Oct 30 15:41:40 2019
您好，问题如下，有些冗长不好意思
Q: A pair of dice, one red and the other green, is rolled six times. We know
that the ordered pairs (1, 1), (1, 5), (2, 4), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (5,
1), and (6, 3) did not come up. What is the probability that every value came
up on both the red die and the green one?
A:
题目说掷六次中，红色和绿色的点数{1, 2, 3, 4, 5, 6}都要出现。理解为这是A->B
一对一对的关系，但是又要扣掉禁位的pairs。
所以这是这是红绿骰子的禁位表格
a1 表示出现点数对(1, 1)(1, 5)
a2 --------------(2, 4)
a3 --------------(3, 6)
a4 --------------(4, 2)(4, 4)
a5 --------------(5, 1)
a6 --------------(6, 3)
所以投掷六次骰子不会出现以上禁位的方法数 == 6! * N(~a1~a2...~6)
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║ ║ 1 ║ 2 ║ 3 ║ 4 ║ 5 ║ 6 ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 1 ║ X ║ ║ ║ ║ X ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 2 ║ ║ ║ ║ X ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 3 ║ ║ ║ ║ ║ ║ X ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 4 ║ ║ X ║ ║ X ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 5 ║ X ║ ║ ║ ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 6 ║ ║ ║ X ║ ║ ║ ║
╰═════╩═════╩═════╩════╩════╩════╩════╯
整理过後，4个互斥的C1 ~ C4
╭═════╦═════╦═════╦════╦════╦════╦════╮
║ ║ 1 ║ 5 ║ 2 ║ 4 ║ 3 ║ 6 ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 1 ║ X ║ X ║ ║ ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 5 ║ X ║ ║ ║ ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 2 ║ ║ ║ ║ X ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 4 ║ ║ ║ X ║ X ║ ║ ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 3 ║ ║ ║ ║ ║ ║ X ║
╠═════╬═════╬═════╬════╬════╬════╬════╣
║ 6 ║ ║ ║ ║ ║ X ║ ║
╰═════╩═════╩═════╩════╩════╩════╩════╯
r(C, x) = r(C1, x) * r(C2, x) * r(C3, x) * r(C4, x)
= (1+3x+x^2)^2 * (1+x)^2 = 1+ 8x + 24x^2 + 34x^3 + 24x^4 + 8x^5 + x^6
(1.)所以方法数 6! * [6! - 8*5! + 24*4! - 34*3! + 24*2! - 8*1! + 1*0!] = 6! * 173
(2.)没有限制每个点数要出现的条件就是除了禁位都可以选，所以棋盘上剩下有28格，
投掷6次，方法数 == 28^6
所以每个点数皆出现的机率是 (1.) / (2.) = 6! *17 / 28^6
不太能理解方法数是 6! * N(~a1~a2...~a6)这行是为什麽，向各位请教了~
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1F：→ Ricestone: N()是丢一次，六次就是排列下去6!10/30 15:58
2F：→ Ricestone: 然後这叫rook polynomial10/30 16:00
3F：→ Ricestone: 我第一推这样讲应该不对10/30 16:43
4F：→ x411066: 标题打错，已更改10/30 16:50
5F：→ Ricestone: 我应该说因为城堡方程式的城堡没有考虑顺序10/30 17:01
6F：→ Ricestone: 而现在是算考虑顺序的情况，所以要再排列10/30 17:01
※ 编辑: x411066 (223.140.230.172 台湾), 10/30/2019 17:02:58
7F：→ x411066: 我的理解是假设红绿骰子没有禁位。将会是{1, 2, 3, 4, 5, 6}
8F：→ x411066: --> {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1-1的对应
※ 编辑: x411066 (223.140.230.172 台湾), 10/30/2019 17:08:02
9F：→ Ricestone: 这跟1-1没什麽关系啊 10/30 17:08
10F：→ Ricestone: 不是，我是说你卡的地方跟1-1没什麽关系 10/30 17:09
11F：→ x411066: 所以丢6次就是6！* onto (6, 6)的方法数，6！是pair当作 10/30 17:10
12F：→ x411066: 有次序之分。所以今天题目有禁位，要把後面的onto另外算 10/30 17:11
13F：→ x411066: 我这样理解不知道可不可以 10/30 17:11
14F：→ Ricestone: 首先1-1跟onto是两个不一样的观念，这里是因为onto又 10/30 17:12
15F：→ Ricestone: 一样大才刚好同时有1-1 10/30 17:12
16F：→ Ricestone: 你这样理解可以 10/30 17:14
17F：→ Ricestone: 啊，不对，是我弄错了，onto这函数在算的就是1-1的个数 10/30 17:15
18F：→ Ricestone: 总之你的理解是对的，就是onto那个位置因为禁位才变成 10/30 17:16
19F：→ Ricestone: 需要用城堡多项式算 10/30 17:16
20F：→ x411066: 哦对@@ 1-1和onto不同，我有观念疏漏。 10/30 17:17
21F：→ x411066: 感谢解释~ 10/30 17:17
22F：→ Ricestone: 我发现是我以为我弄错了，一时把函数跟1-1混在一起 10/30 17:25